Resolver $\int_{-1}^1 f(x,t) \, dx=\log \left(\frac{t+1}{1-t}\right)$

Question

¿Es posible encontrar una función $f(x,t)$ tal que $$\int_{-1}^1 f(x,t) \, dx=\log \left(\frac{t+1}{1-t}\right)\text{?}$$ Intenté hacer la transformada de Laplace, pero no funcionó.

Answer 1

Prueba $f(x,t)= \frac{t}{tx+1}$. Entonces $\int_{-1}^1 f(x,t)=[ln(x+\frac{1}{t})]_{x=-1}^{x=1}$.

Answer 2

Es fácil ver que $$f(x,t) = \frac{t}{1+x\cdot t}$$ es una solución debido a que el RHS es $$\log(1+t) - \log(1-t) \ ,$$ así que la antiderivada deseada es $$F(x,t) = \log(1+x \cdot t)$$ Supongo que podrías deducirlo concluyentemente (sin la necesidad de ninguna intuición) con una sola diferenciación respecto a $x$.

Answer 3

¡Fácil!

\int_{-1}^1 \frac{1}{2}\log\left(\frac{t+1}{1-t}\right)dx = \log\left(\frac{t+1}{1-t}\right)