Cálculo del intervalo de confianza para la estimación de la curva de demanda - ¿cuántos grados de libertad?

Question

Estoy tratando de entender qué tan incierta es una estimación de la distribución de la demanda de un bien. Si tomo una muestra aleatoria de n personas de la población de consumidores representativos que me dan sus precios de corte/personales (asumiendo que los reportan con precisión), puedo construir una curva de demanda con n puntos que representan una estimación de la proporción de la población que compraría el bien a ese precio.

Dado que utilicé n piezas independientes de información para calcular n puntos, ¿debería usar una distribución t con 1 grado de libertad para calcular el intervalo de confianza para cada punto? Y, si quiero reducir este intervalo aumentando los grados de libertad, ¿tengo que tomar más muestras, o aumentar la granularidad de la curva de demanda para obtener más grados de libertad en cada punto?

Answer 1

Debería usar una distribución $t$ con $n-1$ grados de libertad (o si $n$ es grande, la distribución normal que proporciona una buena aproximación a la distribución $t$). Una muestra más grande, aumentando $n$, estrecharía el intervalo de confianza tanto porque aumenta los grados de libertad (aunque una vez que $n$ aumenta más allá de 30 este efecto es bastante pequeño) como porque reduce el error estándar.

Para un precio dado, la muestra contiene, por ejemplo, $m$ personas que comprarían el bien a ese precio. Por lo tanto, la proporción de la población que compraría el bien a ese precio se puede estimar como $m/n$. Esto se aplica a cualquier precio, no solo a los $n$ precios de corte dados por las personas en la muestra. Por lo tanto, puede calcular cualquier cantidad de puntos, tomando un punto como identificado por un precio y su proporción estimada asociada.

El número de puntos que se puede calcular no tiene relevancia para los grados de libertad utilizados en el cálculo de un intervalo de confianza para la proporción en un precio específico (la situación es bastante diferente de una regresión en la que se utilizan $n$ observaciones para estimar conjuntamente $k$ parámetros, lo que implica $n-k$ grados de libertad). Los grados de libertad aquí dependen solo del tamaño $n$ de la muestra utilizada para estimar esa proporción y su error estándar, de los cuales restamos 1 porque el uso de la misma muestra para estimar tanto la proporción como su error estándar implica una pérdida de 1 grado de libertad.

El valor de $t_{n-1}$ en el nivel de confianza deseado veces el error estándar estimado da la mitad del ancho del intervalo de confianza.