Pregunta: Si $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\log(2+x)-x^{2n}\sin(x)}{1+x^{2n}}$, explique por qué la función no se anula en ningún punto del intervalo $[0,\pi/2]$, aunque $f(0)$ y $f(\pi/2)$ difieran en signo.
Mi solución:
Primero, simplificamos un poco el límite.
$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\log(2+x)-x^{2n}\sin(x)}{1+x^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\log(2+x)-(x^{2n}+1-1)\sin(x)}{1+x^{2n}}\\ \implies f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\log(2+x)+\sin(x)}{1+x^{2n}}-\sin(x)$$
Ahora, dividimos el intervalo $[0,\pi/2]$ en tres partes, es decir, $x\in [0,1)$, $x=1$ y $x\in (1,\pi/2]$.
Para la primera parte, es decir, cuando $x\in [0,1)$, tenemos $|x|\lt 1$ y por lo tanto $1+x^{2n}\to 1+0=1$ a medida que $n\to\infty$, por lo tanto, por la regla del cociente de límites, se reduce a,
$$f(x)=\log(2+x)+\sin(x)-\sin(x)=\log(2+x)~\forall~x\in [0,1)$$
En $x=1$, tenemos $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\log3+\sin(1)}{1+1^{2n}}-\sin(1)=\frac 12(\log3-\sin1)$
Para $x\in (1,\pi/2]$, tenemos $|x|\gt 1$, por lo tanto $1+x^{2n}\to\infty$ a medida que $n\to\infty$. Pero $\log(2+x)$ y $\sin(x)$ son constantes finitas para un $x particular. Por lo tanto, el límite tiende a $0$ a medida que $n\to\infty$ y obtenemos $f(x)=0-\sin(x)=-\sin(x)~\forall~x\in (1,\pi/2]$.
Entonces, escribimos nuestros resultados colectivamente como,
$$f(x)=\begin{cases}\begin{align}\log(2+x)&&\forall~x\in [0,1)\\ \frac 12(\log3-\sin1)&&\textrm{en }x=1\\ -\sin(x)&&\forall~x\in (1,\pi/2]\end{align}\end{cases}$$
Es fácil verificar ahora que $f(x)$ no se anula en $[0,\pi/2]$ ya que, para $x\in [0,1)$, tenemos $f(x)=\log(2+x)\gt \log1=0$ ya que el logaritmo es estrictamente creciente. En $x=1$, el valor de la función obviamente no es $0$ ya que $\log3\neq\sin1$ y para $x\in (1,\pi/2]$, tenemos $f(x)=-\sin(x)\in [-1,-\sin 1)$ ya que el seno es estrictamente creciente en $[0,\pi/2]$.
Ahora, la explicación de por qué $f(x)$ no se anula incluso cuando $f(0)$ y $f(\pi/2)$ difieren en signo sería que $f(x)$ no es continua en $[0,\pi/2]$, más específicamente, es discontinua en $x=1$ con límite por la izquierda siendo $\log3$ y límite por la derecha siendo $-\sin1$ y por lo tanto el teorema de Bolzano no se aplica para $f(x)$ en $[0,\pi/2]$.
Comentarios sobre mi solución y mejoras son bienvenidos. ¡Gracias! :)
