Limite de la serie trigonométrica

Question

Dado $$a_n = \frac 1{n^2}\sum_{k=1}^n {(2k+1)\sin\left(\frac{k^2 \pi}{n^2} \right)}$$ encuentra $\lim_{n \to \infty} a_n$.

Mi intento: Porque $k = 1,2,\dots, n$, $$0\le\frac {k^2}{n^2} \le 1$$ entonces $$0\le\frac {k^2}{n^2} \pi \le \pi$$ así $$0 \le \sin \left( \frac {k^2}{n^2} \pi\right) \le 1.$$ Esto significa que $a_n$ es una secuencia no negativa.

$$0 \le \frac 1{n^2}\sum_{k=1}^n {(2k+1)\sin\left (\frac{k^2 \pi}{n^2} \right)} \le \frac 1{n^2}\sum_{k=1}^n {(2k+1)} $$ $$ \frac 1{n^2} n(2n+1) = 2 + \frac 1n \to 2 $$ entonces, por la regla de comparación, la serie dada converge. El problema es que el "sándwich" no es suficiente.

Answer 1

Ten en cuenta que: $$a_n = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k^2\pi}{n^2}\right)+\frac{2}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sin\left(\frac{k^2\pi}{n^2}\right),\tag{1}$$ donde el primer término a la derecha es $O(1/n)$ mientras que el segundo es una suma de Riemann que converge a la integral: $$\int_{0}^{1}2x\sin(\pi x^2)\,dx=\int_{0}^{1}\sin(\pi y)\,dy=\frac{2}{\pi}.$$ Debido al término de error de la regla del trapecio, la diferencia entre la última integral y el término de la derecha en $(1)$ es solo $O(1/n^2)$, por lo tanto:

$$\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac{2}{\pi}.$$