El término "elíptico"

Question

Hay muchas cosas que se llaman "elípticas" en varias ramas de las matemáticas:

• Curvas elípticas
• Funciones elípticas
• Geometría elíptica
• Hiperboloide elíptico
• Integral elíptica
• Módulo elíptico
• Paraboloide elíptico
• Ecuación diferencial parcial elíptica

Supongo que la mayoría de ellas se relacionan de alguna manera con las elipses, pero la relación a menudo me resulta poco clara. ¿Alguien conoce la etimología de estos varios términos; es decir, cuál se derivó de cuál y por qué? Por ejemplo, esta respuesta sugiere que las curvas elípticas se derivan de integrales elípticas, ya que las primeras curvas elípticas conocidas se encontraron al estudiar integrales elípticas. ¿Y el resto?

No espero que las respuestas aborden exhaustivamente todos los términos, pero espero que eventualmente las suficientes respuestas contribuyan a formar una imagen cohesiva del término en su conjunto.

Answer 1

Una respuesta parcial, yendo de "fácil" a "difícil":

"Hiperboloide elíptico" y "Paraboloide elíptico"

• estos son por supuesto superficies cuádricas con las secciones transversales implícitas por sus respectivos nombres; uno podría preguntarse correctamente por qué no son "elipsoides hiperbólicos" y "elipsoides parabólicos", sin embargo.

"Integral elíptica"

• La "segunda clase" estudiada por Legendre es precisamente lo que aparece al derivar la función de longitud de arco de una elipse. (Euler, Fagnano y otros matemáticos ciertamente han estudiado integrales relacionadas anteriormente, ya que aparecen al derivar las funciones de longitud de arco de curvas como la hipérbola y la lemniscata.) Por qué Legendre generalizó esto a "integrales que involucran la raíz cuadrada de un polinomio cúbico o cuártico" es algo que aún necesito investigar.

"Funciones elípticas"

• estas surgieron como inversas de la integral de "primera clase". Confusamente, Legendre primero denominó a sus integrales elípticas como "funciones elípticas", y no fue hasta el trabajo de Abel y Jacobi (quienes tuvieron la visión de invertir las integrales estudiadas por Legendre) que se usó "función elíptica" para estos objetos, y "integral elíptica" se convirtió en el término aceptado para las estudiadas por Legendre. La demostración de que eran las únicas funciones doblemente periódicas (una de las grandes contribuciones de Jacobi a la teoría; ver esto) llevó a que "doblemente periódico" y "elíptico" fueran adjetivos sinónimos, al menos en este contexto.

"Curvas elípticas"

• la mayoría de estas cosas pueden ser parametrizadas por funciones (hiper)elípticas, por ejemplo, las formas cúbicas y cuárticas pueden ser transformadas birracionalmente a la "forma de Weierstrass", que luego admite una parametrización en términos de las funciones elípticas de Weierstrass. Como reuns también quería que señalara, otro hilo conductor es que las curvas elípticas sobre $\mathbb C/L$ con $L$ un enrejado periódico apropiado están íntimamente relacionadas con las funciones modulares y elípticas (como una vez fue conjeturado por Taniyama y Shimura, y posteriormente demostrado por Wiles y otros).

"Módulo elíptico"

• Es un posible argumento para una integral elíptica o una función elíptica. Hablé sobre esto extensamente aquí, así que no necesito repetirlo para esta respuesta.

Geometría elíptica

• Aquí está la excepción. "elipse" (ἔλλειψις) significa un "déficit" o "quedarse corto" en el griego original. En el contexto cónico, esto está relacionado con la excentricidad "quedándose corta" de la unidad (y una condición matemáticamente similar lleva al adjetivo "elíptico" para algunas ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden); en el sentido de la geometría no euclidiana, la "geometría elíptica" "se queda corta" ya que no exhibe el postulado de las paralelas (esto se debe a Klein, si la memoria no me falla), a diferencia de la geometría euclidiana donde solo tienes una paralela, o la geometría hiperbólica ("exceso") donde puedes tener infinitas paralelas.

Answer 2

Cuando las ecuaciones / modelos matemáticos se trifurcan distintamente en base al discriminante / signo característico de sus argumentos principales (< 0, 0, > 0) en un grupo (es decir, cuando hay una transformación posible entre tipos de signo positivo y negativo) tenemos tres clases / tipos (elíptico, parabólico, hiperbólico) que no necesariamente deben estar asociados con una curva elíptica.

En cuanto a la nomenclatura de partición de superficies de curvatura constante Gauss (K = +1 y -1) la designación no me resulta tan cómoda. Espero que sea apropiado mencionarlo aquí.

Creo que deberíamos llamarlos

1) Esfera elíptica 2) Esfera de Riemann 3) Esfera hiperbólica

y

4) Pseudoesfera elíptica 5) Pseudoesfera central o de Beltrami 6) Pseudoesfera hiperbólica

En el siguiente artículo (al cual no tengo acceso en este momento)

Felix Klein, "Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie" 3ª ed. (Berlín, 1928). Alemán. Journal de Crelle.

según recuerdo los nombres son como: 1) husos 2) esfera 3) como "quesos llantas" 4) cónoide 5) pseudoesfera 6) anillos

Nombres_Const_Gauss_Curvtr