Realización de grupos abelianos como homología de complejos simpliciales

Question

Sea $G_0, G_1, G_2,\cdots, G_n$ una secuencia de grupos abelianos finitamente generados. ¿Siempre existe un complejo simplicial $K$ tal que

(1). la dimensión de $K$ no sea mayor que $n$;

(2). para cada $0\leq i\leq n$, $H_i(K;\mathbb{Z})\cong G_i$?

¿Existen referencias o Teoremas al respecto? Gracias.

Answer 1

Para que esto sea posible, el grupo $G_n$ debe ser libre, ya que $H_n(K)$ será simplemente el grupo de $n$-ciclos simpliciales (no hay fronteras que eliminar ya que $\dim K \leq n$), que es un subgrupo del grupo de $n$-cadenas simpliciales y, por lo tanto, libre. El grupo $G_0$ también debe ser libre, ya que $H_0$ de cualquier espacio es libre, y $G_0$ debe ser no trivial si algún otro $G_i$ es no trivial ya que $H_0(K) = 0$ implica que K está vacío.

Estas son las únicas restricciones: dados $G_0,\dots,G_n$ con $G_0$ y $G_n$ libres y $G_0 \neq 0$, es posible encontrar $K$ como lo deseas. Para probar esto, es suficiente encontrar complejos simpliciales $K_i$ para cada $i$ de modo que cada $K_i$ tenga una dimensión $\leq n$, $K_i$ esté conectado para $i > 0$, $H_i(K_i) \cong G_i$, y $H_j(K_i) = 0$ si $j > 0$ y $j \neq i. De hecho, dado tal $K_i$ podemos simplemente tomar $K = \bigvee K_i$.

Construir tales $K_i$ para $i = 0$ e $i = n$ es fácil: simplemente toma un espacio discreto para $i = 0$ y una cuña de $n$-esferas para $i = n$. Entonces, supongamos $0 < i < n$. Elije una presentación $$0 \to \mathbb{Z}^d \stackrel{F} \to \mathbb{Z}^e \to G_i \to 0.$$ Sea $X$ una cuña de $e$ copias de $S^i$. Entonces podemos considerar mapas $f_1,\dots,f_d:S^i \to X$ cuyos mapas inducidos en $H_i$ son los $d$ homomorfismos $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^e$ que se combinan para dar el mapa $F$. Mediante la aproximación simplicial, podemos elegir estructuras de complejo simplicial en $X$ y $S^i$ de modo que estos mapas sean todos simpliciales. Luego podemos poner una estructura de complejo simplicial (de dimensión $i+1 \leq n$) en el espacio $K_i$ obtenido adjuntando $(i+1)$-celdas a $X$ a lo largo de cada uno de estos mapas $f_1,\dots,f_d$. Podemos considerar $K_i$ como un complejo CW cuyas únicas celdas son una $0$-celda que es el vértice de $X$, $e$ $i$-celdas que son las esferas de X, y $d$ $(i+1)$-celdas que adjuntamos a través de los mapas $f_1,\dots,f_d$. Luego podemos calcular la homología celular de $K_i$ como $H_i(K_i) \cong G_i$ y $H_j(K_i) = 0$ para todos los demás $j > 0$, ya que el mapa de borde celular de las $(i+1)$-cadenas a las $i$-cadenas es $F$.