¿Concentración de medida para cuerpos convexos arbitrarios?

Question

Hay varios teoremas de "concentración de medida", el más conocido es el debido a Lévy, que es este (de manera informal): el volumen de una esfera $S^d$ en $d$ dimensiones está mayormente concentrado alrededor de un vecindario tubular de un hiperplano ecuatorial $H$ de radio $\epsilon$. Aquí el vecindario tubular es el conjunto de puntos dentro de una distancia $\epsilon$ de $H. Creo que hay un teorema análogo para cuerpos convexos centro-simétricos (aunque no tengo referencias para esto). Mi pregunta es:

¿Existe un teorema de concentración de medida para cuerpos convexos arbitrarios $K$, algo en estas líneas: Existe un hiperplano $H$ tal que la mayor parte del volumen de $K$ está concentrada en un vecindario tubular de $H$?

¿O hay cuerpos convexos tan "sesgados" que se resisten a cualquier sección de este tipo?

Probablemente esto ya esté conocido, en cuyo caso una referencia sería suficiente. ¡Gracias!

Answer 1

Hay muchos resultados y una industria de investigación activa en estas líneas. En general, la bola euclidiana es el cuerpo convexo mejor comportado en este sentido, y qué tan similar es un cuerpo convexo arbitrario depende de cómo intente hacer más precisa su pregunta. Aquí hay un resultado muy general, un caso especial de lo que a veces se llama el lema de Borell:

Sea $K \subset \mathbb{R}^n$ un cuerpo convexo con volumen 1 y sea $A \subset \mathbb{R}^n$ un conjunto simétrico convexo tal que $vol(K\cap A) \ge 3/4$. Entonces para $r > 1$, $$ vol(K \setminus r A) \le \frac{3}{4} 3^{-(r+1)/2}. $$

Por lo tanto, en particular, el volumen de $K$ lejos de un hiperplano decae exponencialmente.

Existen resultados mucho más nítidos. Mencioné un par de referencias recientes en un comentario en la respuesta de Gil. Para obtener mucho más, sugiero que comience por hojear los documentos de Grigoris Paouris.

Answer 2

El artículo "Problemas isoperimétricos para cuerpos convexos y un lema de localización" de Kannan Lovasz y Simonovitz (Disc Comp Geom 13(1995) 541-559) parece relevante. Ellos consideran el volumen mínimo de una superficie dimensional (n-1) necesario para separar un cuerpo convexo en conjuntos de gran volumen cada uno. Si el volumen es grande, entonces también lo es el volumen de un vecindario tubular.