Beauville Exercise VII.7 (3) - Una demostración de que $\kappa(X) \geq \kappa(Y)$ para $f\colon X\to Y$ una aplicación sobreyectiva de variedades proyectivas suaves.

Question

Aquí $\kappa(X)$ denota la dimensión de Kodaira de una variedad proyectiva suave $X$.

Pregunta 1:

Me gustaría resolver el Ejercicio VII.7 (3) del libro de Beauville "Superficies Algebraicas Complejas":

Sea $\pi \colon X\to Y$ un morfismo sobreyectivo, entonces $\kappa(X)\geq \kappa(Y)$. Además, si $\pi$ es étale, entonces la igualdad se cumple.

Ya he buscado un poco y he encontrado estas dos preguntas que podrían estar relacionadas con mi problema

[Mapas racionales y dimensión de Kodaira](https://mathoverflow.net/questions/426116/iitaka-dimension-is-invariant-under-surj<a>j>ective-morphism-between-smooth-projective varieties</a></p> <p><a href=)

Sin embargo, no entiendo muy bien lo que significan, así que decidí preguntar aquí de nuevo.

Mi idea es simplemente la siguiente:

Por la fórmula de Hurwitz, tenemos que $dK_X=\pi^*(dK_Y)+D$ para cualquier $d\geq 1$, donde $D$ es un divisor efectivo (en particular, $D$ es $d$ veces el divisor de ramificación de $\pi$).

Por lo tanto, la imagen inversa $\pi^*\colon H^0(Y, dK_Y)\hookrightarrow H^0(X, \pi_1^*(dK_Y))\subseteq H^0(X, dK_X)$ es inyectiva. En otras palabras, $h^0(dK_X)\geq h^0(dK_Y)$. Define $k:=\kappa(S)$; si $k\leq 0$, entonces la tesis sigue inmediatamente por la definición de la dimensión de Kodaira. De lo contrario, obtendríamos $$ \limsup_{d\to \infty}\frac{h^0(dK_X)}{d^k}\geq \limsup_{d\to \infty}\frac{h^0(dK_Y)}{d^k}, $$ entonces $k(Y)\leq k=k(X)$. Supongamos ahora que $\pi$ es étale. Esto significa para mí simplemente que $f$ no tiene ramificaciones, y básicamente $D=0$. ¿Cómo puedo concluir entonces que $\kappa(X)=\kappa(Y)$?

¿Es posible que $h^0(dK_X)=h^0(dK_Y)$ para cada $d\geq 1$?

Lo que he pensado es que si $D=0$, entonces en cada punto existe un vecindario abierto $U$ (no necesariamente abierto en el sentido de Zariski) tal que $f\colon U\to f(U)=:V $ es un isomorfismo, y por lo tanto $\pi^*\colon H^0(V, dK_V)\to H^0(U, dK_U)$ también es un isomorfismo. ¿Cómo puedo entonces concluir que $\pi^*\colon H^0(Y, dK_Y)\to H^0(X, dK_X)$ es un isomorfismo?

Pregunta 2:

La segunda pregunta es generalizar el resultado anterior de la siguiente manera:

Sea $\pi\colon X\to Y$ un morfismo sobreyectivo de variedades algebraicas, con $Y$ y $X$ no necesariamente suaves. Entonces $\kappa(X)\geq \kappa(Y)$.

Creo que he encontrado una solución en el caso de superficies, pero no sé cuál debería ser la estrategia en dimensiones superiores:

Sean $\rho_X\colon \widehat{X}\to X$ y $\rho_Y\colon \widehat{Y}\to Y$ dos resoluciones de las singularidades de $X$ y $Y$. Considere el mapa racional natural $\widehat{X}\dashrightarrow \widehat{Y}$ y resuelva su indeterminación mediante un número finito de soplados $b\colon \smash{\widehat{X}}'\to \widehat{X}$. Tenemos entonces un morfismo $\pi\colon \smash{\widehat{X}}'\to \widehat{Y}$, que es sobreyectivo ya que $f$ también lo es. Aplique ahora el resultado anterior al mapa $\pi$ para obtener $\kappa(\smash{\widehat{X}}')\geq \kappa(\widehat{Y})$. Sin embargo, la dimensión de Kodaira es una invariante birracional, así que

$$\kappa(X)=\kappa(\widehat{X})=\kappa(\smash{\widehat{X}}')\geq \kappa(\widehat{Y})=\kappa(Y).$$

¿Es posible generalizar esto? Si no lo es, ¿cuál es la idea para demostrarlo en dimensiones superiores?

Answer 1

Es necesario asumir que $k$ tiene característica cero (probablemente el libro solo considera $k = \mathbb{C}$) ya que de lo contrario hay aplicaciones inyectivas inseparables $\mathbb{P}^2 \to X$ donde $X$ es de tipo general.

Pregunta 1

Como se indica, si $\pi : X \to Y$ es una aplicación sobreyectiva de variedades suaves y propias de la misma dimensión entonces $H^0(Y, \omega_Y^{\otimes k}) \to H^0(X, \omega_X^{\otimes k})$ es inyectiva para cualquier $k \ge 0$. Si $\xi \in X$ y $\eta \in Y$ son los puntos genéricos entonces estos espacios de secciones se incrustan en $\omega^{\otimes k}_{Y, \eta}$ y $\omega^{\otimes k}_{X, \xi}$ (usando integridad y que estas haces son fibrados vectoriales) y la aplicación $\omega^{\otimes k}_{Y, \eta} \to \omega^{\otimes k}_{X, \xi}$ es inyectiva.

Ahora necesitamos mostrar igualdad en el caso en que $\pi$ es etal. Como se señala en los comentarios, la afirmación de que $h^0(X, \omega_X^{\otimes k}) = h^0(Y, \omega_Y^{\otimes k})$ es falsa, solo las dimensiones de Kodaira son iguales.

Dado que $\pi$ es propia y etal, es finita. Por lo tanto, $\pi_* \mathcal{O}_X$ es un fibrado vectorial. Dado que $\pi$ es etal, $\pi^* \omega_Y^{\otimes k} = \omega_X^{\otimes k}$. Por lo tanto, usando la fórmula de la proyección,

$$ H^0(X, \omega_X^{\otimes k}) = H^0(Y, \omega_Y^{\otimes k} \otimes \pi_* \mathcal{O}_X) $$

Por lo tanto, es suficiente mostrar que estos grupos crecen en $k$ como un polinomio de grado a lo sumo $\kappa(Y)$. Al tomar la clausura de Galois $\tilde{X} \to X \to Y$ podemos asumir que $X \to Y$ es un $G$-recubrimiento para algún grupo finito $G$. Por lo tanto $(f_* \mathcal{O}_X)^G = \mathcal{O}_Y$. Escribimos,

$$ R(Y, \omega_Y) = \bigoplus_{k \ge 0} H^0(Y, \omega_Y^{\otimes k}) \\ R(X, \omega_X) = \bigoplus_{k \ge 0} H^0(X, \omega_X^{\otimes k}) = \bigoplus_{k \ge 0} H^0(Y, \omega_Y^{\otimes k} \otimes f_* \mathcal{O}_X) $$

La inyección $R(Y, \omega_Y) \to R(X, \omega_X)$ es un homomorfismo de anillos y $R(X, \omega_X)^G = R(Y, \omega_Y)$. Es un hecho general que un anillo es integral sobre sus invariantes de $G$ bajo una acción de un grupo finito. Esto se debe a que cualquier $r \in R$ satisface,

$$ f(x) = \prod_{g \in G}(x - g(r)) $$

y los coeficientes están en $R^G$ por lo que $r$ es integral sobre $r$. En particular, si $R$ es finitamente generado sobre $R^G$ entonces es una extensión finita. Es un hecho (algo complicado) que $R(Y, \omega_Y)$ es finitamente generado sobre $k$. Por lo tanto, $R(Y, \omega_Y) \to R(X, \omega_X)$ es una extensión finita y por lo tanto si $N$ es el número de generadores entonces,

$$ h^0(X, \omega_X^{\otimes k}) \le N h^0(Y, \omega_Y^{\otimes k}) $$

dando la cota requerida.

Pregunta 2

Por la primera parte, $\kappa(X)$ es una invariante birracional para variedades suaves. Por lo tanto, una buena definición de $\kappa(X)$ para variedades $X$ singulares es elegir una resolución de singularidades $\tilde{X} \to X$ y definir $\kappa(X) := \kappa(\tilde{X})$ lo cual es independiente de la elección de la resolución porque cualquiera de ellas son birracionales. Dada una aplicación sobreyectiva $f : X \to Y$ de variedades propias de la misma dimensión elegimos resoluciones de singularidades $\pi_X : \tilde{X} \to X$ y $\pi_Y : \tilde{Y} \to Y$ y solo hay una correspondencia racional entre $\tilde{X}$ y $\tilde{Y}$. El cierre de su gráfico da $\Gamma \subset \tilde{X} \times \tilde{Y}$ que se mapea de forma birracional a $\tilde{X}$. Elegimos una resolución de singularidades $\tilde{\Gamma} \to \Gamma$. Por lo tanto obtenemos,

$$ \tilde{Y} \leftarrow \tilde{\Gamma} \rightarrow \tilde{X} $$

de aplicaciones sobreyectivas de variedades suaves de la misma dimensión. Dado que $\tilde{\Gamma} \to \tilde{X}$ es birracional $\kappa(\tilde{\Gamma}) = \kappa(\tilde{X}) = \kappa(X)$ y $\kappa(\tilde{\Gamma}) \ge \kappa(\tilde{Y}) = \kappa(Y)$ entonces concluimos.