Límites de secuencias (teoremas de límite)

Question

Antes que nada, no estoy seguro de si hay alguna diferencia entre mostrar la convergencia o divergencia de una secuencia y tomar los límites de una función como lo hacemos en cálculo. Si alguien pudiera explicarme la diferencia, eso sería genial. Dicho esto, realmente no estoy seguro de mi trabajo hasta ahora. Y finalmente, necesito recordar los límites de tipo $2^n$ o $n!$.

Para $s_n$ dado por las siguientes fórmulas, determine la convergencia o divergencia de la secuencia $s_n$. Encuentre cualquier límite que exista.

a. $s_n=\frac{3-2n}{1+n}=\frac{3/n-2}{1/n+1}$ $lims_n=lim\frac{3/n-2}{1/n+1}=-2$

converge a -2

b. $s_n=\frac{(-1)^n}{n+3}=\frac{(-1)^n/n}{1+3/n}$ $lims_n=lim\frac{(-1)^n/n}{1+3/n}=0/1+0=0$

converge a 0

c. $s_n=\frac{(-1)^nn}{2n-1}=\frac{(-1)^n1}{2-1/n}$ $lims_n=lim\frac{(-1)^n1}{2-1/n}$

diverge sin límite

d. $s_n=\frac{2^{3n}}{3^{2n}}=

???? ¿Cómo puedo resolver este?

e. $s_n=\frac{n^2-2}{n+1}=\frac{n-2/n}{1+1/n}$

no estoy seguro

f. $s_n=\frac{3+n-n^2}{1+2n}=\frac{(-1)^n1}{2-1/n}$

g. $s_n=\frac{1-n}{2^n}$

h. $s_n=\frac{3^n}{n^3+5}$

i. $s_n=\frac{n!}{2^n}$

j. $s_n=\frac{n!}{n^n}$

k. $s_n=\frac{n^2}{2^n}$

l. $s_n=\frac{n^2}{n!}$

Answer 1

Para (d), notar que $(\frac{2}{3})^n \to 0$ cuando $n\to \infty$;

para (e), es $+\infty$

Answer 2

La pregunta inicial. Calcular los límites es solo uno de los métodos para mostrar que el límite existe. Por ejemplo, es fácil mostrar que la sucesión $$ a_n=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\dots+\frac1{n^2} $$ es convergente, pero calcular su límite es mucho más difícil.

Y los límites restantes: d) 0, e) $+\infty$, f) $-\infty$, g) 0, h) $+\infty$, i) $+\infty$, j) 0, k) 0, l) 0, si necesitas respuestas para controlar tus soluciones. El ejemplo j) parece ser el más difícil.