¿Es verdad que $2^{2^{n}}$ siempre termina en el dígito $6$?

Question

Como dice la pregunta, ¿es cierto que para $n >1$, $2^{2^{n}}$ termina en el dígito 6? ¿Cómo se podría demostrar esto? Parecía cierto. Consideré escribirlo como $$2^{2^{n}} = \prod_{k=0}^{n} 2^{ n\choose k }$$ pero no estoy seguro de que sea útil. ¿Alguna ayuda, ideas o incluso pistas?

Answer 1

Es más general que eso: el último dígito de la expansión decimal de cada número de la forma $2^{4n}$ es $6$. Esto se debe a que $2^{4n}=16^n$ y, por supuesto, si el último dígito de un número es $6$, entonces el último dígito de cualquiera de sus potencias también es $6$ (ya que $6\times6=36$).

Answer 2

Puedes usar la inducción. Supongamos que $2^{2^n}$ termina en 6. Ahora $2^{2^{n+1}} = 2^{2^n + 2^n}= 2^{2^n} . 2^{2^n}$ y la multiplicación de dos números que terminen en 6 debe terminar en 6.

Answer 3

$2^{2^n}\equiv0\pmod2$ para $n\ge0

Ahora $2^{2^n}=(2^2)^{2^{n-1}}\equiv(-1)^{2^{n-1}}\pmod5

Para $n-1\ge1,(-1)^{2^{n-1}}\equiv1\pmod5

Entonces, para $n\ge2, 2^{2^n}\equiv1+5\pmod{10}

Answer 4

Usar la aritmética modular sería lo más fácil. Para que un número $k$ termine en el dígito 6 es lo mismo que $k\equiv 6\mod 10$, lo cual, por el Teorema Chino del Resto es lo mismo que $$\left\{\begin{array}{r}k\equiv0\mod 2 \\k\equiv 1\mod 5\end{array}\right.$$

El primero es fácil. El segundo tampoco es demasiado difícil si notas que $2^4\equiv 1\mod 5$. ¿Puedes continuar a partir de aquí?