Prueba de explicación: La existencia de "fg-cadenas" Axioma de Elección implica el Lema de Zorn

Question

Estaría muy contento si alguien pudiera explicar la validez de un pasaje de este documento para mí. En la prueba del Lema 3.3, "Lema Fundamental", se introduce la noción de "cadenas fg" y más adelante, definimos el conjunto S como la unión de todas las "cadenas fg". Es un punto crucial en esta prueba que S no esté vacío, sin embargo, se omite cualquier tipo de justificación. Entonces, mi pregunta es, ¿por qué S no está vacío (o, equivalentemente, cómo se puede probar que una "cadena fg" existe?)

Answer 1

$\varnothing$ es una cadena, entonces deja que $t=g(\varnothing)$, y deja que $C=\{f(t)\}$. Luego $fg(C_{f(t)})=fg(\varnothing)=f(t)$, y $C$ es una cadena de $fg$, ya que $C_{f(t)}$ es la única sección de $C$.