Propiedades de las fibras de un morfismo de variedades

Question

En esta pregunta, se supone que todas las variedades están sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$.

Hipótesis: X es una superficie proyectiva suave y $f:X\longrightarrow \mathbb P^1$ es un morfismo con las siguientes propiedades (tal vez algunas condiciones sean redundantes pero para completitud escribo la lista completa):

• $f$ es plano, propio y tiene una sección.
• Existe un subconjunto abierto denso $U \subseteq\mathbb P^1$ tal que la fibra $X_u$ es una curva proyectiva suave (es decir, un esquema integral, separado de tipo finito) para cada $u\in U$.
• Todas las fibras son irreducibles (y por lo tanto, conectadas).
• Las fibras singulares pueden tener solo un nodo como singularidad (no se permiten nodos múltiples)

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Conclusiones:

Me gustaría demostrar (si es cierto) que todas las fibras son reducidas. Prácticamente queda por mostrar que las fibras singulares son reducidas.

Answer 1

Si $y \in \mathbb P^1$ es un punto (cerrado) y $V$ es un entorno afín de $y$, entonces podemos encontrar una función $a \in \mathcal O(V)$ que se anula precisamente en $y$. Si dejamos $U = f^{-1}(V)$, entonces $U$ es un conjunto abierto que contiene la fibra sobre $y$, y la fibra sobre $y$ está determinada por $f^* a \in \mathcal O(V)$. Por lo tanto, esta fibra es una intersección completa local, y en particular Cohen--Macaulay, y en particular $S_1.

Ahora dejemos $\sigma$ ser la sección de $f$. Dado que $f\circ \sigma = \text{id}_{\mathbb P^1}$, vemos que $f$ induce una sobreyección de $T_{\sigma(y)}X$ a $T_{y}\mathbb P^1$, es decir (en términos de topología diferencial), $f$ es una sumersión en $\sigma(y)$, o en términos de geometría algebraica, $f$ es suave en un entorno de $\sigma(y)$. En particular, la fibra sobre $y$ es entonces suave en un entorno de $\sigma(y)$, y en particular, es reducida en un entorno de $\sigma(y).

Por lo tanto, esta fibra, siendo irreducible (por hipótesis), es genéricamente reducida.

Un teorema general dice que (para anillos Noetherianos, o equivalentemente, esquemas localmente Noetherianos) ser $R_0$ (es decir, reducido en todos los puntos genéricos) y $S_1$ es equivalente a ser reducido. Esto se aplica aquí para permitirnos concluir que la fibra sobre $y$ es reducida.