$W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ No es Cerrado Bajo la Multiplicación al $s\leq n/p$

Question

Para $s\in\mathbb{R}$, $1<p<\infty$, y $n\geq 1$, definir el espacio de Sobolev $W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ por $$W^{s,p}(\mathbb{R}^{n}):=\left\{f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) : \|(\langle{\xi}\rangle^{s}\widehat{f})^{\vee}\|_{L^{p}}<\infty\right\}$$, equipado con la norma $$\|f\|_{W^{s,p}}=\|(\langle{\xi}\rangle^{s}\widehat{f})^{\vee}\|_{L^{p}}$$ Si $\phi+\sum_{k=1}^{\infty}\psi(2^{-k}\cdot)=1$ es un Littlewood-Paley partición de la unidad, entonces tenemos la equivalencia de las normas $$\|f\|_{W^{s,p}}\approx \|P_{\leq 0}f\|_{L^{p}}+\left\|\left(\sum_{k=1}^{\infty}2^{2ks}|P_{k}f|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}},$$ donde$\widehat{P_{\leq 0}f}=\psi\widehat{f}$$\widehat{P_{k}f}=\psi(2^{-k})\widehat{f}$.

Al $sp> n$, uno puede mostrar que $W^{s,p}$ es cerrado bajo pointwise la multiplicación. Más precisamente,

Teorema. Para $n\geq 1$, $1<p<\infty$, y $s>n/p$, $$\|fg\|_{W^{s,p}}\lesssim_{n,p,s}\|f\|_{W^{s,p}}\|g\|_{W^{s,p}},\quad\forall f,g\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$$

Quiero demostrar que este resultado es fuerte para cualquier $1<p<\infty$, $n\geq 1$, y $0<s\leq n/p$. Específicamente,

Problema. Para todos $n\geq 1$, $0<s\leq n/p$, encontrar una función $f\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $f^{2}\notin W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$.

La prueba del teorema anterior con el que estoy familiarizado (ver Semana 4 notas aquí) utiliza el hecho de que por la incrustación de Sobolev, podemos controlar la $\|f\|_{L^{\infty}}$ $\|f\|_{W^{s,p}}$ y por lo tanto podemos controlar el $L^{\infty}$-norma de Hardy-Littlewood máximo de la función de $f$, denotado $Mf$,$\|f\|_{W^{s,p}}$. Yo creo que para $s<n/p$, puedo construir una función de $f\in W^{s,p}$ que no está acotada. T. Tao escribe que uno no puede controlar la $L^{\infty}$ norma por la $W^{s,p}$ norma también al $s=n/p$, pero que no podía mostrar el extremo caso (Edit 1: Vea abajo para la prueba de extremo caso).

Considerar las funciones de la función $$f_{N}:=N^{-1}\sum_{k=1}^{N}2^{-sk}2^{nk/p}\widehat{\psi}(2^{k}x)$$ donde $\psi$ es no negativo golpe función adaptado al anillo $1\leq|\xi|\leq 2$ $N\geq 1$ es un número entero. En lugar de $N^{-1}$, Tao usa $N^{-1/p}$ pero yo era incapaz de hacer ese trabajo.

Yo reclamo que $\|f_{N}\|_{W^{s,p}}\lesssim 1$ (es decir, de manera uniforme en $N$). Es claro desde el triángulo de la desigualdad y de la dilatación de la invariancia de que $\|f_{N}\|_{L^{p}}\lesssim 1$. De dónde los Jóvenes de la desigualdad, $\|P_{\leq 0}f_{N}\|_{L^{p}}\lesssim 1$. Mediante el análisis de frecuencia de los apoyos, vemos que $${P_{k}2^{jn/p}\widehat{\psi}(2^{j}\cdot)}=0,\quad |k-j|> 3$$ De dónde, $$2^{sk}P_{k}f_{N}=N^{-1}\sum_{j=k-3}^{k+3}P_{k}2^{s(k-j)}2^{jn/p}\widehat{\psi}(2^{j})=N^{-1}\sum_{j=-3}^{3}2^{-sj}P_{k}2^{(k+j)n/p}\widehat{\psi}(2^{j+k})$$ donde los términos con índices negativos se definen a ser cero. Así, por medio de anidación de $\ell^{p}$ espacios y las observaciones anteriores, tenemos que \begin{align*} \left(\sum_{k=1}^{\infty}|2^{sk}P_{k}f_{N}|^{2}\right)^{1/2}\lesssim_{n,s,p} N^{-1}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=j-3}^{j+3}|P_{k}2^{nj/p}\widehat{\psi}(2^{j})| \end{align*} Por el triángulo de la desigualdad, la Joven de la desigualdad, de la dilatación de la invariancia, obtenemos que $$\left\|N^{-1}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=j-3}^{j+3}|P_{k}2^{nj/p}\widehat{\psi}(2^{j})|\right\|_{L^{p}}\lesssim_{n,s}N^{-1}\sum_{j=1}^{N}\|2^{nj/p}\widehat{\psi}(2^{j})\|_{L^{p}}=\|\widehat{\psi}\|_{L^{p}}$$

Pero desde $\widehat{\psi}(0)=\int\psi dx=c>0$, se deduce que $$\|f_{N}\|_{L^{\infty}}\gtrsim N^{-1}\sum_{k=1}^{N}2^{k(n/p-s)}\rightarrow\infty,$$ como $N\rightarrow\infty$, ya que el $s<n/p$. Tomando un aumento de la secuencia de $N_{k}\rightarrow\infty$ tal que $\|f_{N_{k}}\|_{L^{\infty}}$ es adecuada grande, se puede probaby construir un $W^{s,p}$ función de la forma $f=\sum_{k}2^{-k}f_{N_{k}}$ tal que $\|f\|_{L^{\infty}}=\infty$, pero no veo cómo aplicar esto para mostrar lo que quiero.

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Edit 1: creo que he descubierto la manera de mostrar el extremo caso de $s=n/p$ en la afirmación de que $\|\cdot\|_{W^{s,p}}$ no control de $\|\cdot\|_{L^{\infty}}$.

Considerar las funciones de la función $$f_{N}:=\sum_{k=1}^{N}2^{-sk}2^{nk/p}\widehat{\psi}(2^{k}x)$$ donde $\psi$ es no negativo golpe función adaptado al anillo $1\leq|\xi|\leq 2$ $N\geq 1$ es un número entero.

Yo reclamo que $\|f_{N}\|_{W^{s,p}}\lesssim_{n,s,p}N^{1/p}$ (es decir, de manera uniforme en $N$). Es claro desde el triángulo de la desigualdad y de la dilatación de la invariancia de que $\|f_{N}\|_{L^{p}}\lesssim N^{1/p}$. De dónde los Jóvenes de la desigualdad, $\|P_{\leq 0}f_{N}\|_{L^{p}}\lesssim N^{1/p}$. Mediante el análisis de frecuencia de los apoyos, vemos que $${P_{k}2^{jn/p}\widehat{\psi}(2^{j}\cdot)}=0,\quad |k-j|> 3$$ De dónde, $$2^{sk}P_{k}f_{N}=\sum_{j=k-3}^{k+3}P_{k}2^{s(k-j)}2^{jn/p}\widehat{\psi}(2^{j})=\sum_{j=-3}^{3}2^{-sj}P_{k}2^{(k+j)n/p}\widehat{\psi}(2^{j+k})$$ donde los términos con índices negativos se definen a ser cero. Por la parte superior de Littlewood-Paley la desigualdad, \begin{align*} \left\|\left(\sum_{k=1}^{\infty}2^{2sk}|P_{k}f_{N}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}}&\lesssim_{n,s,p}\left\|\left(\sum_{j=1}^{N}2^{2jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}\cdot)|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}}\\ &\leq\left\|\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}\cdot)|\right\|_{L^{p}} \end{align*} por la anidación de la propiedad. Desde $\widehat{\psi}$ es un Schwartz función adaptado a una bola de radio $O(1)$, tenemos que $$\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}x)|\lesssim_{M}\sum_{j=1}^{N}\dfrac{1}{(1+|2^{j}x|)^{M}}$$ para cualquier $M\geq 0$. Así, por entero $N-1\geq k\geq 0$, \begin{align*} \int_{2^{-k-1}\leq|x|\leq 2^{-k}}\left|\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}x)|\right|^{p}dx&\lesssim_{M}\int_{2^{-k-1}\leq|x|\leq 2^{-k}}\left|\sum_{j=1}^{k}2^{jn/p}+\sum_{j=k+1}^{N}\dfrac{2^{jn/p}}{(1+|2^{j}x|)^{M}}\right|^{p}dx\\ &\lesssim\int_{2^{-k}\leq|x|\leq 2^{-k-1}}\left|2^{kn/p}+\sum_{j=k+1}^{N}\dfrac{2^{jn/p}}{(1+|2^{j}x|)^{M}}\right|^{p}dx\\ \end{align*} El segundo término en el integrando es limitada desde arriba por una disminución de, serie geométrica convergente, siempre $M$ es lo suficientemente grande, y es, por tanto, comparable a la de su primer mandato,$\sim 2^{kn/p}$. De donde el de arriba es majorized por \begin{align*} \lesssim\int_{2^{-k-1}\leq|x|\leq 2^{-k}}2^{kn}dx\sim_{n} 1 \end{align*} Para $k\leq N$, la estimación $$\int_{|x|\leq 2^{-N}}\left|\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}x)|\right|^{p}dx\lesssim\int_{|x|\leq 2^{-N}}2^{Nn}dx\sim_{n}1$$ Para $|x|\geq 1$, rápida desintegración da el presupuesto \begin{align*} \int_{|x|\geq 1}\left|\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}x)|\right|^{p}dx\lesssim_{M}\int_{|x|\geq 1}\left(\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|2^{j}x|^{-M}\right)^{p}dx\lesssim_{n,M,p}1, \end{align*} siempre $M$ es lo suficientemente grande. La combinación de las estimaciones y la suma de las piezas de la integral, llegamos a la conclusión de que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\sum_{j=1}^{N}2^{jn/p}|\widehat{\psi}(2^{j}x)|\right|^{p}dx&\lesssim_{n,p} N \end{align*} Tomando $p^{th}$ raíces completa la prueba de la reclamación.

Answer 1

A menos que me estoy perdiendo algo obvio, creo que tengo una respuesta completa que demuestra la existencia de una $f\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ $0<s\leq n/p$ el uso de una combinación de difícil análisis y suave análisis.

En primer lugar, un pequeño lema:

Lema 1. Si $f\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ es tal que el operador definido por pointwise multiplicación por $f$ está delimitada en $W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$,$f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$.

Prueba. Deje $T$ el valor del multiplicador del operador definido por $f$. Por hipótesis de $T$ está delimitado $W^{s,p}\rightarrow W^{s,p}$. Para todos los $g,h\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$, tenemos que $$\int_{\mathbb{R}^{n}}T(g)\overline{h}=\int_{\mathbb{R}^{n}}fg\overline{h}=\int_{\mathbb{R}^{n}}g\overline{\overline{f}h}$$ Por la densidad, vemos que el adjunto del operador $T^{*}$ densamente definido por la multiplicación por $\overline{f}$ está delimitado $W^{-s,p'}\rightarrow W^{-s,p'}$ donde $1/p+1/p'=1$. Tomando complejos conjugados, vemos que el operador densamente definido por la multiplicación por $f$ está delimitado $W^{-s,p'}\rightarrow W^{-s,p'}$. La interpolación (ver T. Tao Notas 5 aquí), podemos ver que la multiplicación por $f$ está delimitada en $W^{s_{\theta},p_{\theta}}$, para todos los $$s_{\theta}:=\theta s-(1-\theta)s \quad p_{\theta}:=\dfrac{\theta}{p}+\dfrac{1-\theta}{p'}, \qquad\forall \enspace 0<\theta<1$$ En particular, para $\theta=1/2$, obtenemos que el operador $T$ está delimitada en $W^{0,2}=L^{2}$. Pruebas de $T$ sobre las funciones simples, podemos ver que $f$ es esencialmente limitado. $\Box$

Lema 2. $W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})\not\subset L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, para $0<s\leq n/p$, $1<p<\infty$.

Suponiendo que el lema, tomar un $f\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})\setminus L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$. Por el Lema 1, existe $g\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $fg\notin W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$. Definir $h:=f+g\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$. Si $f^{2}$ o $g^{2}\notin W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$, entonces estamos hecho. De lo contrario, por la inversa del triángulo de la desigualdad, $$\|h^{2}\|_{W^{s,p}}\geq 2\|fg\|_{W^{s,p}}-\|f^{2}\|_{W^{s,p}}-\|g^{2}\|_{W^{s,p}}=\infty$$

Ahora podemos probar Lema 2. Si $W^{s,p}$ incrusta (no necesariamente continua) en $L^{\infty}$, luego me dicen que debe hacerlo boundedly. De hecho, Vamos a $I$ denotar la inclusión del mapa. Por el Cerrado Gráfico Teorema, es suficiente para mostrar que si $f_{n}\rightarrow f$$W^{s,p}$$If_{n}\rightarrow g$$L^{\infty}$,$If=g$. Observar que $f_{n}\rightarrow f$ $f_{n}\rightarrow g$ en la distribución y, por tanto,$f=g$.e. Llegamos a una contradicción, ya que mi análisis en el post original, muestra que $W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ no continuamente incrustar en $L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$.

Answer 2

Lo que sigue no es una solución para el problema original, sino más bien algunos de longitud de los comentarios, lo que me pareció mejor post por separado, a fin de minimizar la longitud de la publicación original.

En primer lugar, no es difícil ver que para el general $0<s\leq n/p$, es insuficiente para el trabajo en el $L^{p}$ nivel. De hecho, si $q$ es el Sobolev conjugado dado por $1/q=1/p-s/n$$1/q\geq 1/2p$, luego por la incrustación de Sobolev tenemos que $\|f\|_{L^{2p}}\lesssim_{n,s,p}\|f\|_{W^{s,p}}$. En particular, esto es cierto para el extremo caso de $s=n/p$.

Segundo, es suficiente encontrar una $f\in W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $$\|\sup_{k}|2^{ks}P_{k}f^{2}|\|_{L^{p}}=\infty$$ Para aquellos de ustedes que estén familiarizados con los espacios de Besov, esta condición es equivalente a $\|f^{2}\|_{B_{p,\infty}^{s}}=\infty$. Menciono esta condición porque me imagino que el $f\mapsto f^{2}$ está claramente delimitada (es decir, la regularidad en el parámetro de que el objetivo del espacio es fuerte) de $W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow W^{s-\epsilon,p}(\mathbb{R}^{n})$, para algunas de las $\epsilon>0$, y por lo tanto tenemos las inclusiones $$W^{s-\epsilon,p}(\mathbb{R}^{n})\subset B_{p,\infty}^{s-\delta}(\mathbb{R}^{n})\subset W^{s,p}(\mathbb{R}^{n}),\quad\forall \enspace 0<\delta<\epsilon$$

En tercer lugar, al $0<s<n/p$, no es demasiado difícil mostrar que el operador no lineal $f\mapsto f^{2}$ es ilimitado en $W^{s,p}(\mathbb{R}^{n})$. De hecho, vamos a $\psi$ ser no negativo golpe función adaptado al anillo $1\leq|\xi|\leq 2$ y considerar la posibilidad de $f_{j}=2^{-sj+nj/p}\widehat{\psi}(2^{j}\cdot)$, para número entero positivo $j$. Nuestro análisis anterior muestra que el $\|f_{j}\|_{W^{s,p}}\lesssim_{n,s,p}1$. Por la dilatación de la invariancia, \begin{align*} \|2^{sk}P_{k}f_{k}^{2}\|_{L^{p}}^{p}&=2^{skp}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\int_{\mathbb{R}^{n}}2^{kn}\varphi(2^{k}(x-y))2^{-2sk+2nk/p}\widehat{\psi}(2^{k}y)^{2}dy\right|^{p}dx\\ &=2^{-skp+2nk}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi(2^{k}x-y)\widehat{\psi}(y)^{2}dy\right|^{p}dx\\ &=2^{-skp+nk}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi(x-y)\widehat{\psi}(y)^{2}dy\right|^{p}dx \end{align*} Por lo $\|f_{k}^{2}\|_{W^{s,p}}\gtrsim 2^{k(\frac{n}{p}-s)}\rightarrow\infty$$k\rightarrow\infty$. Tal vez hay una suave análisis argumento de que uno puede obtener de la existencia de la función deseada $f$, pero desde la plaza de operador no es lineal, no es claro para mí lo que este argumento podría ser.