Cómo encontrar $ \lim\limits_{ x\to 100 } \frac { 10-\sqrt { x } }{ x-100 }$

Question

Encuentra $ \lim\limits_{ x\to 100 } \dfrac { 10-\sqrt { x } }{ x-100 }$

(¿sin usar calculadora u otras máquinas...?)

Answer 1

$\lim\limits_{ x\to 100 } \dfrac { 10-\sqrt { x } }{ x-100 }=\lim\limits_{ x\to 100 } \dfrac {-(\sqrt { x }-10) }{ (\sqrt{x}-10)(\sqrt{x}+10) }=-\lim\limits_{ x\to 100 } \dfrac {1}{\sqrt{x}+10}=-\frac{1}{20}$

Answer 2

Reconociendo que $\sqrt{x} \approx 10$ hace que el numerador desaparezca, podemos inspirarnos para usar una aproximación diferencial:

$$ \sqrt{x} = 10 + \frac{1}{20}(x - 100) + r(x) (x - 100) $$

donde $r(x)$ tiene la propiedad de que $\lim_{x \to 100} r(x) = 0$. Por lo tanto,

$$ \lim_{x \to 100} \frac{10 - \sqrt{x}}{x - 100} = \lim_{x \to 100} \frac{-\frac{1}{20} (x - 100) - r(x) (x - 100)}{x - 100} = \lim_{x \to 100} -\frac{1}{20} - r(x) = -\frac{1}{20}$$