Cómo encontrar $ \lim\limits_{ x\to 100 } \frac { 10-\sqrt { x } }{ x-100 }$

Question

Encuentra $ \lim\limits_{ x\to 100 } \dfrac { 10-\sqrt { x } }{ x-100 }$

(¿sin usar calculadora u otras máquinas...?)

Answer 1

Pista: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Answer 2

Multiplica toda la expresión por $$\frac{10+\sqrt{x}}{10+\sqrt x}\Longrightarrow \frac{100-x}{(x-100)(10+\sqrt x)}=-\frac{1}{10+\sqrt x}\xrightarrow [x\to 100]{}-\frac{1}{20}$$

Answer 3

¿No sería la respuesta perfectamente clara si estuviéramos tratando con $\dfrac{10-u}{u^2-100}$?

Bueno, deja que $u=\sqrt{x}$. Ahora estamos.

Answer 4

Voy a proponer un enfoque de L'Hopital ya que aún no se ha sugerido. Es aplicable porque tenemos un caso indeterminado $0/0$.

$$\lim_{x\rightarrow 100}{\dfrac {10-\sqrt {x}}{x-100}}$$

Nota que la derivada de $10-\sqrt{x}$ es simplemente $\frac{-1}{2\sqrt{x}}$ y la derivada de $x-100$ es solo $1$. Por lo tanto, tenemos:

$$\lim_{x\rightarrow 100}{\dfrac {-1}{2\sqrt{x}}}$$

Sustituyendo $x=100$ encuentras que el límite es efectivamente $\dfrac{-1}{20}$.

Answer 5

Primero restamos afuera y luego obtenemos,

$ =\displaystyle \lim_{x\to 100} - \frac{\sqrt{x}-\sqrt{100}}{x-100}$

\=$ -\frac{1}{2} (100)^{-\frac{1}{2}} $ $ (\because \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x-a}=na^{n-1}) $

$=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{100}} $

$=- \frac{1}{20}$