Grupos de Lie p-ádicos vs. grupos algebraicos sobre $\mathbb{Q}_p$

Question

Estoy algo confundido acerca de los siguientes dos conceptos y las relaciones entre ellos-

Un concepto es un grupo de Lie $G$ sobre el campo $p$-ádico. Esto está definido de manera similar a un grupo de Lie (real) - utilizando atlas de cartas, mientras se asegura de trabajar en la categoría analítica (=definida a través de una serie de potencias).

El otro concepto es el grupo $H=\mathbb{H}(k)$ de $k$ puntos para un grupo algebraico $\mathbb{H}$ definido sobre $k$, para $k=\mathbb{Q}_p$. Como cualquier grupo algebraico, $\mathbb{H}$ es un grupo de matrices, y por lo tanto también lo es $H$.

Cada grupo del segundo tipo se puede considerar como un grupo del primer tipo bajo un atlas apropiado (como es el caso sobre cualquier campo local).

Por otro lado, por ejemplo, para $k=\mathbb{R}$ se sabe (¿si no me equivoco?) que cada grupo de Lie semi-simple con centro trivial, y cada grupo compacto es de hecho el componente conectado de los puntos $\mathbb{R}$ de algún grupo algebraico definido sobre $\mathbb{R}$.

Mi pregunta es - ¿se mantienen resultados similares sobre $\mathbb{Q}_p$? Obviamente no podemos depender de tomar el componente conectado... En otras palabras, ¿cuándo es un grupo de Lie $p$-ádico de hecho algebraico? ¿Qué pasa con un grupo de Lie $p$-ádico semi-simple (es decir, teniendo una álgebra de Lie semi-simple)?

Gracias de antemano

Answer 1

La persona que hizo la pregunta me pidió que proporcionara una respuesta. Aquí está.

Debes tener en cuenta el ejemplo de $\text{PGL}_n(\mathbb{Z}_p)$ que es a la vez compacto y semisimple (en el sentido de que su álgebra de Lie es semisimple) pero no es isomorfo (como grupo de Lie p-ádico) a un grupo algebraico (en adelante, los puntos $\mathbb{Q}_p$ de un grupo algebraico $\mathbb{Q}_p$).

Sin embargo, $\text{PGL}_n(\mathbb{Z}_p)$ es isomorfo a un subgrupo abierto de $\text{PGL}_n(\mathbb{Q}_p)$ que es un grupo algebraico, y hay un fenómeno general aquí.

Afirmación: Sea $G$ un grupo p-ádico semisimple con centro trivial. Entonces existe un grupo algebraico $H$ tal que $G$ es isomorfo a un subgrupo abierto de $H$. Además, este subgrupo abierto es o compacto o de índice finito en $H.

Prueba: Define $H$ como el grupo de automorfismos del álgebra de Lie de $G$. Entonces $H$ es algebraico y el mapa adjunto $G\to H$ es inyectivo debido a la trivialidad del centro. Por semisimplicidad, toda derivación es interna, por lo tanto $G\to H$ induce un isomorfismo en el nivel del álgebra de Lie. Concluimos que la imagen de $G$ es una subvariedad de la misma dimensión de $H$, por lo tanto es abierta. Un subgrupo abierto es cerrado, por supuesto, y se sigue que $G$ es isomorfo a su imagen (esto es un hecho general sobre grupos polacos). El hecho de que un subgrupo abierto de $H$ debe ser o abierto o de índice finito podría deducirse del Teorema de Howe-Moore (considerando $\ell^2(H/G)$).

Answer 2

Dada la pregunta fue planteada en 2013 y respondida en 2017, tal vez está bien objetar la respuesta en 2024.

El núcleo del mapa adjunto no es el centro, sino el cuasicentro. El argumento de Uri debería ser correcto si se reemplaza el centro por el cuasicentro.

Recientemente, Caprace-Minasyan-Osin construyeron grupos de Lie $p$-ádicos simples para los cuales el mapa adjunto es trivial, en particular tienen álgebra de Lie abeliana. Esos están muy lejos de ser algebraicos.

Ahora hay bastante investigación sobre la pregunta original, quizás sería mejor referirse al artículo de Benoist-Quint titulado "¿Qué tan lejos están los grupos de Lie p-ádicos de los grupos algebraicos?"