Tensor antisimétrico y pseudotensor

Question

Estoy leyendo el libro de teoría de campos clásicos de Landau & Lifshitz, y hay un párrafo que me confundió:

"Con respecto a las rotaciones del sistema de coordenadas, las cantidades $e^{iklm}$ se comportan como los componentes de un tensor; pero si cambiamos el signo de una o tres de las coordenadas, los componentes $e^{iklm}$, al estar definidos de la misma manera en todos los sistemas de coordenadas, no cambian, mientras que algunos de los componentes de un tensor deberían cambiar de signo. Así que $e^{iklm}$, estrictamente hablando, no es un tensor, sino más bien un pseudotensor."

$e^{iklm}$ es el tensor antisimétrico. Me gustaría preguntar

1. ¿Qué significa el pasaje?
2. ¿Cómo cambia un tensor bajo rotación adecuada?
3. ¿Cómo cambia un tensor bajo rotación inadecuada?
4. ¿Cómo cambia un pseudotensor bajo rotación adecuada?
5. ¿Cómo cambia un pseudotensor bajo rotación inadecuada?
6. ¿Cómo descomponer una rotación inadecuada en el producto de rotación y reflexión?
7. det(rotación x reflexión) = -1. ¿Significa que det R' = -1 implica que R' es una rotación inadecuada?

Answer 1

1. ¿Qué significa el pasaje?

Espero que quede claro a partir de mis respuestas a las otras 6 preguntas.

2-3. cómo cambia el tensor bajo rotación adecuada o no adecuada

Por rotaciones nos referimos a transformaciones de Lorentz. Las rotaciones espaciales son solo casos especiales de las transformaciones de Lorentz. Una transformación de Lorentz arbitraria se define por una matriz $4 \times 4$ $\Lambda_{\mu}^{\;\nu}$, que satisface la siguiente condición: $$ \eta_{\mu \nu} = \eta_{\mu' \nu'} \; \Lambda_{\mu}^{\;\mu'} \Lambda_{\nu}^{\;\nu'}. $$ Esto es equivalente a decir que la matriz, cuando se aplica a un 4-vector, no cambia su intervalo invariante.

Nota que si tomamos el $\det$ de ambos lados, obtenemos $$ (\det \Lambda)^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad \det \Lambda = \pm 1. $$

Las transformaciones de Lorentz con determinantes positivos (negativos) son llamadas apropiadas (inapropiadas) respectivamente.

Los tensores se transforman bajo las transformaciones de Lorentz de acuerdo a $$ A_{\mu \nu \dots \sigma} \rightarrow A_{\mu' \nu' \dots \sigma'} \; \Lambda_{\mu}^{\;\mu'} \Lambda_{\nu}^{\;\nu'} \dots \Lambda_{\sigma}^{\;\sigma'}. $$

4-5. cómo cambia el pseudotensor bajo rotación adecuada o no adecuada

Los pseudotensores se transforman bajo las transformaciones de Lorentz según $$ B_{\mu \nu \dots \sigma} \rightarrow \det \Lambda \cdot B_{\mu' \nu' \dots \sigma'} \; \Lambda_{\mu}^{\;\mu'} \Lambda_{\nu}^{\;\nu'} \dots \Lambda_{\sigma}^{\;\sigma'}. $$

6. cómo descomponer una rotación inapropiada en el producto de una rotación y una reflexión

Consideremos, por ejemplo, una reflexión espacial (inadecuada), dada por $$ \Lambda_{\text{refl}} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right). $$

Cualquier transformación de Lorentz inapropiada puede ser escrita como $$ \Lambda_{\text{improper}} = \Lambda_{\text{proper}} \cdot \Lambda_{\text{refl}}, $$

donde $\cdot$ es la multiplicación de matrices.

7. det(rotación x reflexión) = -1. ¿El det R' = -1 implica que R' es una rotación inapropiada?

Exactamente, es la definición.