Esta respuesta se aplica a la pregunta en su forma en Mié May 14 2014. Parece haber escapado la atención de que esta suma puede ser evaluada utilizando técnicas de suma armónica. Esto proporcionará otra representación integral mediante una integral compleja en línea.
Para ver esto, introduzcamos la suma $$S(x) = \sum_{k\ge 1} \left(\frac{1}{(2k-1)x}\right)^2 \frac{1}{1-i((2k-1)x)^2}$$ con $x$ siendo un número real.
Esta suma converge absolutamente y es armónica y puede ser evaluada invirtiendo su transformada de Mellin.
Recordemos la identidad de suma armónica $$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) = \left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$ donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin de $g(x).$
En este caso tenemos $$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = 2k-1 \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{1}{x^2}\frac{1}{1-ix^2}.$$
Necesitamos la transformada de Mellin $g^*(s)$ de $g(x)$ que es $$\int_0^\infty \frac{1}{x^2}\frac{1}{1-ix^2} \times x^{s-1} dx = \int_0^\infty \frac{1}{1-ix^2} \times x^{s-3} dx.$$
Calculamos la franja fundamental de esta transformada. En una vecindad del cero, $g(x) \sim 1/x^2$ y necesitamos que $(s-1)-2 > -1$ para que la integral converja cuando $\Re(s)>2$. En el infinito, $g(x) \sim 1/x^4$ lo que da convergencia para $(s-1)-4<-1$ o $\Re(s) < 4.$ Por lo tanto, la franja fundamental es $\langle 2, 4 \rangle.$
Evaluamos $g^*(s)$ utilizando un contorno semicircular en el semiplano superior con radio $R$ yendo hacia el infinito recorrido en sentido antihorario. A lo largo del eje real positivo obtenemos la transformada $g^*(s).$ A lo largo del eje real negativo obtenemos
$$\int_{-\infty}^0 \frac{1}{1-ix^2} \times x^{s-3} dx = - \int_\infty^0 \frac{1}{1-iu^2} \times e^{i\pi (s-3)} u^{s-3} du \\ = e^{i\pi (s-1)} g^*(s) = - e^{i\pi s} g^*(s).$$
El único polo en el semiplano superior está en $x=e^{3/4\pi i}$ y como el polo es simple tenemos $$\mathrm{Res}\left(\frac{1}{1-ix^2} x^{s-3}; x=e^{3/4\pi i} \right) = \frac{1}{-2i\times e^{3/4\pi i}} e^{3/4\pi i(s-3)} \\ = \frac{i}{2} e^{3/4\pi i(s-4)} = -\frac{i}{2} e^{3/4\pi i s}.$$ Esto nos da para $g^*(s)$ que $$g^*(s) (1 - e^{i\pi s}) = 2\pi i \times -\frac{i}{2} e^{3/4\pi i s}$$ por lo que $$g^*(s) = \pi \frac{ e^{3/4\pi i s} }{1 - e^{i\pi s}} = \pi e^{1/4\pi i s} \frac{1}{e^{-1/2 i\pi s} - e^{1/2 i\pi s}} \\= - \frac{\pi}{2i} \frac{e^{1/4\pi i s}}{\sin(1/2 \pi s)} = \frac{\pi i}{2} \frac{e^{1/4\pi i s}}{\sin(1/2 \pi s)}.$$
Concluimos que la transformada de Mellin $Q(s)$ de la suma armónica $S(x)$ está dada por
$$Q(s) = \frac{\pi i}{2} \frac{e^{1/4\pi i s}}{\sin(1/2 \pi s)} \left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) \\ \text{porque}\quad \sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{(2k-1)^s} = \left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s)$$ para $\Re(s) > 1.
La integral de inversión de Mellin aquí es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{5/2-i\infty}^{5/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$ que evaluamos desplazándola hacia la derecha para una expansión alrededor del infinito. La elección de la línea fue determinada por la franja fundamental de $g^*(s)$ que está completamente incluida en el semiplano de convergencia $\Re(s)>1$ del término de la suma.
Procedemos a recolectar la contribución en residuos de los polos. Estos se originan en el término seno solo en los valores $s=2q$ con $q\ge 2$, dando $$\frac{\pi i}{2} \sum_{q\ge 2} e^{1/2\pi i q} \times (-1)^q \frac{2}{\pi} \times \left(1-\frac{1}{2^{2q}}\right) \zeta(2q) \times \frac{1}{x^{2q}} \\ = i \sum_{q\ge 2} e^{3/2\pi i q} \times \left(1-\frac{1}{2^{2q}}\right) \zeta(2q) \times \frac{1}{x^{2q}}.$$
Para simplificar esto necesitamos evaluar la suma $$T(u) = \sum_{q\ge 2} u^{2q} \zeta(2q) = \sum_{q\ge 2} u^{2q} \frac{(-1)^{q+1} B_{2q} (2\pi)^{2q}}{2(2q)!} = - \frac{1}{2} \sum_{q\ge 2} B_{2q} \frac{(2\pi i u)^{2q}}{(2q)!}.$$
Utilizando la función generatriz de los números de Bernoulli tenemos que $$\sum_{p\ge 4} B_p \frac{t^p}{p!} = -1 + \frac{1}{2} t - \frac{1}{12} t + \frac{t}{e^t-1}$$ lo que da para la suma $$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}(2\pi i u) + \frac{1}{24} (2\pi i u)^2 - \frac{1}{2} \frac{2\pi i u}{e^{2\pi i u} - 1}.$$
La expansión que tenemos es dada por $$i T(e^{3/4 \pi i}/x) - i T(e^{3/4 \pi i}/x/2)$$
La forma cerrada para la suma es en realidad el negativo de este valor porque estamos integrando en sentido antihorario. Haciendo la sustitución finalmente obtenemos $${\frac {1/8\,\sqrt {2}\pi -1/8\,i\pi \,\sqrt {2}}{x}} +1/8\,{\frac {{\pi }^{2}}{{x} ^{2}}} - \frac{\pi e^{3/4 \pi i}/x}{e^{2\pi i e^{3/4 \pi i}/x}-1} + \frac{\pi e^{3/4 \pi i}/x/2}{e^{2\pi i e^{3/4 \pi i}/x/2}-1}.$$
Esta expansión es válida donde la serie original converge, es decir, $(-\infty, 0)\cup (0, \infty).$
