¿Cuál es el idempotente $e_\chi$ asociado a un carácter $\chi$?

Question

Supongamos que $\chi\colon G\to k^\times$ es un carácter (irreducible) de un grupo finito $G$ en un campo $k$. ¿Cuál es la definición del idempotente correspondiente $e_\chi$?

Sé que sobre $\mathbb{C}$, el idempotente central correspondiente es $$ e_\chi=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\overline{\chi(g)}g. $$

Si no tenemos una noción de conjugación, ¿es el idempotente correspondiente simplemente $$ \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)^{-1}g? $$

[Translated by voice]

Answer 1

Es

$$\frac{\chi(1)}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g^{-1}) g.$$

Note that $\chi(g)$ is not always invertible, and if it is, its inverse is usually not its conjugate. But $\chi(g^{-1}) = \overline{\chi(g)}$ if $k$ is a subfield of $\mathbb{C}$ closed under complex conjugation.

Answer 2

Hay una definición diferente sobre $\mathbb{C}$ para el proyector sobre la representación irreducible $V$, que es $$\psi_V = \frac{\dim V}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g) g^{-1}$$

Creo que esta definición se extiende a cualquier campo $k$ cuya característica no divida a $|G|$.