Convergencia/divergencia de la norma del operador para matrices de signos aleatorios

Question

Para cada ${n}$, sea ${A_n = (a_{ij,n})_{1 \leq i,j \leq n}}$ una matriz aleatoria de ${n \times n}$ (es decir, una variable aleatoria que toma valores en el espacio ${{\bf R}^{n \times n}}$ o ${{\bf C}^{n \times n}}$ de matrices de ${n \times n}$) tal que las entradas ${a_{ij,n}}$ de ${A_n}$ son mutuamente independientes en ${i,j}$ y toman valores en ${\{-1,+1\}}$ con una probabilidad del ${1/2}$ cada uno. Si ${\|A_n\|_{op}}$ representa la norma del operador de ${A_n}$, y ${\varepsilon > 0}$, muestra que ${\|A_n\|_{op} / n^{1/2+\varepsilon}}$ converge casi seguramente a cero, y que ${\|A_n\|_{op} / n^{1/2-\varepsilon}}$ diverge casi seguramente a infinito. (Pista: utiliza el teorema espectral para relacionar ${\|A_n\|_{op}}$ con las cantidades ${\hbox{tr} (A_n A_n^*)^k}$.)

Intento: Como $A_nA_n^*$ es simétrica, su norma de operador ${\|A_nA_n^*\|_{op}}$ es igual a la norma de ${\ell^\infty}$ $\displaystyle \|A_nA_n^*\|_{op} = \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_i$ de los autovalores ${\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in {\bf R}}$ de $A_nA_n^*$ (nota: los autovalores son no negativos aquí). Por otro lado, tenemos la identidad estándar del álgebra lineal $\displaystyle \hbox{tr}(A_nA_n^*)^k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$. En particular, para cualquier número natural $k$, obtenemos las desigualdades $\displaystyle \|A_n\|^{2k}_{op} = \| A_nA_n^* \|_{op}^k \leq \hbox{tr}(A_nA_n^*)^k \leq n \|A_nA_n^*\|_{op}^k = n\|A_n\|^{2k}_{op}$.

A partir de esto, vemos que para cualquier $k$ par,

$\displaystyle {\|A_n\|_{op} / n^{1/2+\varepsilon}} \leq [\hbox{tr}(A_nA_n^*)^k]^{\frac{1}{2k}} / n^{1/2+\varepsilon}$

y $\displaystyle {\|A_n\|_{op} / n^{1/2-\varepsilon}} \geq [\hbox{tr}(A_nA_n^*)^k]^{\frac{1}{2k}} / n^{\frac{1}{2k} + \frac{1}{2} - \varepsilon}$.

No pude proceder utilizando la ley de los grandes números con estas cotas, ya que las entradas de $A_nA_n^*$ no son iid. Cualquier ayuda directa o indirecta será apreciada.

Answer 1

Después de una mayor consideración, logré obtener una solución que pego a continuación. Se agradecen verificaciones y sugerencias.

Fija algún $\varepsilon, \delta > 0$. Dado que $A_nA_n^*$ es simétrico, la norma de operador ${\|A_nA_n^*\|_{op}}$ es igual a la norma de ${\ell^\infty}$ $\displaystyle \|A_nA_n^*\|_{op} = \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_i$ de los eigenvalores ${\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in {\bf R}}$ de $A_nA_n^*$ (por el Corolario 1 del Teorema 6.43 de "L", estos valores son no negativos). Además, tenemos la identidad estándar de álgebra lineal $\displaystyle \hbox{tr}(A_nA_n^*)^k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$. En consecuencia, para cualquier número natural $k$, tenemos las desigualdades

$\displaystyle \|A_n\|^{2k}_{op} = \| A_nA_n^* \|_{op}^k \leq \hbox{tr}(A_nA_n^*)^k \leq n \|A_nA_n^*\|_{op}^k = n\|A_n\|^{2k}_{op}$

Se sigue que para cualquier número natural $k$,

$\displaystyle {\|A_n\|_{op} / n^{1/2+\varepsilon}} \leq [\hbox{tr}(A_nA_n^*)^k]^{\frac{1}{2k}} / n^{1/2+\varepsilon}$

y

$\displaystyle {\|A_n\|_{op} / n^{1/2-\varepsilon}} \geq [\hbox{tr}(A_nA_n^*)^k]^{\frac{1}{2k}} / n^{\frac{1}{2k} + \frac{1}{2} - \varepsilon}$.

Sea $E_n$ el evento $[\hbox{tr}(A_nA_n^*)^k]^{\frac{1}{2k}} / n^{1/2+\varepsilon} > \delta$, que es equivalente al evento $\displaystyle \hbox{tr}(A_nA_n^*)^k / n^{k(1+2\varepsilon)} > \delta$, donde re-escalamos $\delta := \delta^{2k}$. Por la parte $(2)$ (Límite uniforme que involucra la traza de una matriz aleatoria) y la desigualdad de Markov, obtenemos el límite

$\displaystyle {\bf P}(E_n) \leq \frac{C_k}{\delta n^{2 \varepsilon k - 1}}$.

para todo $k$. Elegimos un $k$ suficientemente grande (mayor que $2$) dependiendo de $\varepsilon$ tal que el denominador sea $O(n^2)$ (digamos), entonces ${\bf P}(E_n)$ y por lo tanto ${\bf P}(\|A_n\|_{op} / n^{1/2+\varepsilon} > \delta)$ son sumables en $n$. Por el lema de Borel-Cantelli, esto implica que ${\|A_n\|_{op} / n^{1/2+\varepsilon}}$ converge casi seguramente a cero.

Finalmente, estableciendo $k=1$ en la segunda desigualdad obtenemos el límite

$\displaystyle {\|A_n\|_{op} / n^{1/2-\varepsilon}} \geq n^{\varepsilon}$,

lo que implica que ${\|A_n\|_{op} / n^{1/2-\varepsilon}}$ diverge casi seguramente a infinito.