¿Cuándo local isomorphisms extender global isomorphisms

Question

Deje $U$ ser un suave cuasi-proyectiva variedad de más de $\mathbf C$, y deje $V\subset U$ ser un denso abierto subvariedad. Deje $X\to U$ $Y\to U$ ser suave proyectiva morfismos de tal manera que sus restricciones a $V$ son isomorfos como morfismos $V$.

Cuando hace un isomorfismo se extienden a un isomorfismo de $X\to U$$Y\to U$$U$?

Si $U$ es de dimensión cero, no hay nada que decir.

En otras palabras, cuando es el morfismos $$ Isom_U(X,Y) \to Isom_V(X\times_U V , Y\times_U V)$$ surjective?

Estoy básicamente buscando un `tan general como se pone la instrucción".

Contraejemplos también son muy bienvenidos.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo (Edit: si $Y\to U$ no se asume suave).

Tome $U=\mathbb A^2$ con origen $O$ ($O$ ser arbitraria racional punto de $\mathbb A^2$), $V=\mathbb A^2\setminus \{O\}$, $X=U$ con $X\to U$ la identidad y $Y\to U$ el golpe de $O$$\mathbb A^2$ .
Tenga en cuenta que$V\subset X$$V\subset Y$.
La identidad de $(X|V)=V\to (Y|V)=V$, que es un $V$- isomorfismo, no puede ser extendida a una $U$-morfismos $X\to Y$, mucho menos a una $U$-isomorfismo.