Grupo de clase de $k[x,y,z,w]/(xy-zw)$

Question

Me surgio un problema de tarea (II.6.5 en Hartshorne) para calcular el grupo de clases (divisor de Weil) de $X=\operatorname{Spec} k[x,y,z,w]/(xy-zw)$. He logrado hacerlo; sin embargo, utilicé algunos resultados que no comprendo completamente. Me quedé con la convicción de que hay una manera más simple de hacerlo usando herramientas que sí entiendo. Estoy esperando que puedas ayudarme a encontrarla.

La parte que entiendo:

Sea $Z$ el divisor primo asociado con el ideal $(y,z)$. Tengo una secuencia exacta

$$\mathbb{Z}\rightarrow \operatorname{Cl} X \rightarrow \operatorname{Cl} \left(X\setminus Z\right) \rightarrow 0$$

donde el primer mapa envía $1\mapsto [Z]$ y el segundo mapa envía un divisor a su intersección con $X\setminus Z$. (Esto es la proposición II.6.5 de Hartshorne.) Ahora $$X\setminus Z = \operatorname{Spec} k[x,y,y^{-1},z,z^{-1},w]/(xy-zw)$$ pero este anillo es isomorfo a $k[x,y,y^{-1},z,z^{-1}]$ porque $w=xyz^{-1}$. Este es un dominio de factorización única, por lo que $\operatorname{Cl} \left(X\setminus Z\right)=0$. Por lo tanto $\operatorname{Cl} X$ es un módulo cíclico de $\mathbb{Z}$, generado por $[Z]$.

La pregunta es si $[Z]$ es de torsión o no. He obtenido que $[Z]$ no es de torsión (por lo tanto $\operatorname{Cl}X \cong \mathbb{Z}$) mostrando que $\operatorname{Cl}X$ es infinito, a su vez relacionándolo con el grupo de clases de la superficie cuádrica proyectiva $Q$ de la cual es el cono afín. Usé el resultado de un ejercicio en Hartshorne (II.6.3) que relaciona el grupo de clases de una variedad proyectiva con la de su cono afín. Siento confianza en que el argumento funciona, pero personalmente no estoy satisfecho tanto porque no estoy completamente cómodo con el razonamiento en el ejercicio II.6.3, como porque todo el argumento es bastante indirecto.

Lo que busco:

Lo que me gustaría es una manera directa de ver que $[Z]$ no es de torsión, es decir, que $n[Z]$ no es principal para $n\in \mathbb{Z}$.

¿Puedes ofrecer un argumento directo de que $[Z]$ no es de torsión en $\operatorname{Cl}X$?

He pensado en esto (abajo), pero estoy atascado.

Mi trabajo hasta ahora:

Sea $A=k[x,y,z,w]/(xy-zw)$ y sea $\mathfrak{p}=(y,z)$. Supongamos que hay algún $f\in K(X)=\operatorname{Frac}A$ tal que $div(f)=n[Z]$ para algún $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Al reemplazar $f$ con $f^{-1}$ si es necesario, podemos asumir que $n>0$. Creo que en este caso $f\in A$ y $\mathfrak{p}^{(n)}$, la $n$-ésima potencia simbólica de $\mathfrak{p}$, es principal y generado por $f$. Creo esto porque dado que $A$ es un dominio noetheriano integralmente cerrado, es la intersección de sus localizaciones en los primos de altura 1, que son precisamente los DVRs asociados a los divisores primos. $div(f)$ es efectivo, por lo que esto significa que $f$ está en la intersección de estos DVRs, por ende en $A$. Además, para cualquier elemento $g$ de $A$ cuya valoración por $Z$ es $\geq n$, debemos tener $g/f\in A$ por la misma razón. (Hartshorne usa razonamientos como este varias veces en la sección II.6.) Se sigue que $f$ genera el ideal $\{g\in A\mid v_Z(g)\geq n\}$. Pero este ideal es la contracción en $A$ de $\mathfrak{p}_\mathfrak{p}^nA_\mathfrak{p}$; esta es $\mathfrak{p}^{(n)}$.

Por lo tanto, demostrar que $[Z]$ no es de torsión en $\operatorname{Cl} X$ es equivalente a demostrar que $\mathfrak{p}^{(n)}\triangleleft A$ nunca es principal. Tuve la idea de imitar el razonamiento de Hartshorne (en el ejemplo II.6.5.2) y mostrar que la imagen de $\mathfrak{p}^{(n)}$ en algún espacio vectorial apropiado, por ejemplo, sea $(x,y,z,w)=\mathfrak{m}$ y encontrar el $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ correcto, nunca es unidimensional. Sin embargo, en general, $\mathfrak{p}^{(n)}$ no necesita estar contenido en $\mathfrak{m}^n$, por lo que no estaba seguro de cómo hacerlo funcionar.

Gracias de antemano por tus pensamientos.

NB: Debido a que esta pregunta surgió de un problema de tarea para mí, estoy usando la etiqueta de tarea para estar seguro, pero tengo la intención de entregar la prueba que describí arriba, por lo que esta pregunta no tiene la intención de ayudarme con mi asignación, solo con mi comprensión.

Answer 1

Primero permítanme recapitular la configuración y las partes conocidas. $A = k[x,y,z,w]/(xy-zw)$ y $p = (y,z)A$. Para mostrar que $Cl(A)\cong \mathbb{Z}$, basta con demostrar que para cualquier $n\ge 1$, $p^{(n)}$ no es principal.

Supongamos que para algún $n \ge 1$, $p^{(n)}$ es principal. Escribimos $S = k[x,y,z,w]$, y sea $f \in S$ cuya imagen en $A$ genera $p^{(n)}$. Dado que $p^n \subset p^{(n)}$ en $A$, $(y,z)^n \subset (f, xy-zw)$ en $S. Vamos a demostrar que esto no puede suceder.

La contención $(y,z)^n \subset (f, xy-zw)$ en $S$ implica $$ (y^n, z^n) \subset (f, xy-zw) \subset (f, x,w). $$ En $S/ (x,w) \cong k[y,z]$, el ideal $(y^n,z^n) S/(x)$ está contenido en el ideal $(f,x,w) S/(x,w) = f S/(x,w)$ cuya altura (codimensión) es a lo sumo 1 (Teorema de la altura de Krull). Esto es una contradicción porque la altura de $(y^n,z^n)S/(x,w) = (y^n,z^n)k[y,z]$ es 2.

Answer 2

Sea $A=k[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$, y $\mathfrak p=(y,z)$. Como se ha notado, el grupo de clases de divisores de $A$ es cíclico generado por $[\mathfrak p].

Queremos demostrar que $n[\mathfrak p]=0$ para $n\ge0$ implica $n=0$.

(Esto nos lleva a la conclusión de que $\operatorname{Cl}(A)\simeq\mathbb Z$.)

Supongamos que $n\ge1$. Dado que $n[\mathfrak p]=0$, existe $f\in A$, $f\ne0$ tal que $\mathfrak p^{(n)}=fA$. Ahora extendamos estos ideales a $A[y^{-1}]$ y observemos que $f$ es invertible en $A[y^{-1}].$ Dado que $A[y^{-1}]$ es la localización del anillo de polinomios $k[y,z,w]$ en $y$, es decir, $A[y^{-1}]=k[y,z,w][y^{-1}]$, se sigue que $f=ay^m$ con $a\in k^\times$ y $m\in\mathbb Z$. Así que tenemos $\mathfrak p^{(n)}=y^mA$. Es fácil ver que $m\ge 1$. Dado que $\mathfrak p^n\subseteq\mathfrak p^{(n)}$, obtenemos $z^n\in y^mA$, es decir, $Z^n\in(Y^m,XY-ZW)$. En particular, al enviar $Y$ a $0$, obtenemos $Z^n\in(ZW)$, una contradicción.