Paso en la demostración de la función Euler Phi de Divisores (parte 3)

Question

Considerar las siguientes bi-implicaciones: $$ \operatorname{ord}(\overline a)=d\iff \gcd(a,n)=\frac{n}{d}\iff a=b\cdot\frac{n}{d}\text{, donde $\gcd(b,d)=1$ y $1\leq b\leq d$}. $$ Soy capaz de mostrar las dos primeras bi-implicaciones y la última $\implies$. Todavía tengo dificultades para mostrar la última $\impliedby$. Entonces supongamos que $a=b\cdot\dfrac{n}{d}$, con $\gcd(b,d)=1$ y $1\leq b\leq d$. Supongo que si $\gcd(b,d)>1$, entonces obtendríamos una contradicción con $\gcd(a,b)=\dfrac{n}{d}$, pero no sé cómo llegar a eso. ¿Alguna idea?

Answer 1

Escribe $n=xy$ con $x$ entero maximal tal que $\gcd(x,d)=1$. En particular, $d$ divide a $y$. Entonces \begin{align} \gcd(a,n)&=\gcd\left(bx\frac{y}{d}, xy\right)=x\gcd\left(b\frac{y}{d}, y\right)\\ &=x\gcd\left(b\frac{y}{d}, d\frac{y}{d}\right)=x \frac{y}{d}\gcd\left(b, d\right)=\frac{n}{d}. \end{align>