Suponga que todo lo relevante es un número entero.
$\gcd(par,par) = par$[1]
$\gcd(X, impar) = impar$.[2]
$X\cdot par = par$[3]
$impar \cdot impar = impar$[4]
$impar \pm par = impar$ pero $mismo \pm mismo = par$.[5]
Eso debería darte la respuesta.
$\gcd(par+par, par*par) - \gcd(par,par) = \gcd(par,par)-\gcd(par,par) = par - par = par$.
$\gcd(par+impar, par*impar) -\gcd(par, impar) = \gcd(impar, par)-\gcd(par,impar)=impar-impar = par$.
$\gcd(impar+impar, impar*impar) - \gcd(impar,impar) = \gcd(par, impar)-\gcd(impar,impar)= impar -impar = par$.
Por lo tanto, sí, $\gcd(x+y, xy) -\gcd(x,y)$ siempre es par.
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[1] a través de [5] son obvias, ¿verdad?
[1]. Los números pares son divisibles por $2$ así que su $\gcd$ será divisible por $2$.
[2]. Los números impares no tienen al $2$ como factor primo así que ningún factor común con un número impar tendrá al $2$ como factor primo.
[3]. Cada múltiplo de un múltiplo de $2$ es un múltiplo de $2$.
[4]. a) el lema de Euclides dice que si $2|x,y$ entonces $2|x$ o $2|y$ así que si $x$ e $y$ son ambos impares $2|xy$ es imposible. (O podríamos hacerlo de manera más convencional: $(2k+1)(2j+1) = 2(2kj +k + j) +1$.)
[5]. Mmm... sería divertido llegar a la línea más delgada para argumentar esto. No estoy seguro de cuál es el argumento más elegante, pero algunos no elegantes son obvios.
$X + par = paridad\ de \ X$ porque $2|par$ así que $2|X+par \iff 2|X$. y $X + impar = paridad \ opuesta \ de \ X$ porque $2\not \mid impar$ así que $impar \equiv \pm 1 \pmod 2$ y $X+impar \equiv X\pm 1 \equiv \begin{cases}0+1=1\\1-1=0 \end{cases}$.
Pero eso es exactamente lo opuesto de elegante.
Supongo que deberíamos ir con lo poco elegante: $mismo \pm mismo = (2j+\begin{cases}0\\1\end{cases}) \pm (2k\mp\begin{cases}0\\1\end{cases})= 2(j\pm k)=par$ mientras que $impar \pm par = (2k+1) \pm 2j = 2(k\pm j) + 1 = impar$.
