Como todos ustedes saben, el espacio vectorial está cerrado bajo la multiplicación escalar, producto escalar, producto vectorial y adición. Si tomo el producto escalar, el espacio vectorial es un campo, pero si tomo el producto vectorial, el espacio vectorial es un grupo. ¿Existe algún término que designe este tipo de conjunto? Además, la multiplicación escalar es una operación binaria de dos conjuntos iguales a un conjunto diferente. ¿Qué tipo de operación es esta?
Respuestas
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Sea $K$ un campo. Un espacio vectorial sobre $K$ es un conjunto $V$, junto con una operación $+\colon V\times V\to V$, y una función $\cdot\colon K\times V\to V$ (o alternativamente, una familia de funciones $\lambda_c\colon V\to V$, indexadas por elementos $c\in K) sujetas a ciertas identidades y condiciones.
El conjunto $V$ normalmente no contiene a $K$, por lo que no tiene sentido hablar del espacio vectorial $V$ como "cerrado bajo la multiplicación escalar". Además, en general no hay un "producto" de vectores, por lo que no tiene sentido hablar de "multiplicación de vectores".
Incluso en el caso en que tengamos un producto cruzado de vectores (por ejemplo, $\mathbb{R}^3$), esta operación no hace que $V$ sea un grupo (el producto no es asociativo).
La multiplicación escalar no es una operación; una operación siempre es una función de una potencia cartesiana de un conjunto al conjunto. Sin embargo, puedes usar el currying para ver la multiplicación escalar como una familia de operaciones unarias en $V$, como se indicó arriba, donde para cada $c\in K$ y cada $\mathbf{v}\in V$, definimos $\lambda_c(\mathbf{v})=c\mathbf{v}.
(Agregado. Una vez que tienes en cuenta los axiomas del espacio vectorial que se relacionan con la multiplicación escalar, resulta que la multiplicación escalar $K\times V\to V$ es en realidad una acción del campo $K$ en el grupo aditivo $(V,+). Pero para llamarlo realmente una "acción", la función debe cumplir ciertas propiedades; solo tener una función $K\times V\to V$ no la convierte en una acción, mientras que cualquier función $S\times S\to S$ es una operación binaria en $S, independientemente de sus propiedades).
Entonces, prácticamente todas tus preguntas se basan en afirmaciones incorrectas. Parece difícil responderlas con precisión.
Ahora, hay una situación en la que parte de lo que dices podría tener sentido: si $F$ y $K$ son campos, y $F\subseteq K$, entonces podemos ver $K$ como un espacio vectorial sobre $F" al "olvidar" la multiplicación dentro de $K$ cuando ninguno de los factores está en $F. Pero aquí realmente estás yendo en la otra dirección: ya tienes un campo, y estás obteniendo un espacio vectorial al restringir la multiplicación $\cdot\colon K\times K\to K$ a $F\times K.
Hay otra situación en la que puede haber un producto entre "vectores": cuando tienes un álgebra. Si $F$ es un campo, un álgebra $K$ es un anillo con (una copia de) $F$ en el centro de $K. Pero nuevamente, lo que tienes es una estructura más rica que, al "olvidar" parte de la estructura, da como resultado un espacio vectorial. Al igual que puedes tener un anillo y, al olvidar el producto, obtener un grupo.
rachelandrew
Puntos
26
Un espacio vectorial sobre un campo es un conjunto con su propia definición
Un campo es un conjunto con su propia definición
Pero más adelante verás que los axiomas del campo concuerdan con los axiomas del espacio vectorial
Por lo tanto, un campo sobre sí mismo es un espacio vectorial, pero un espacio vectorial no implica un campo. Por ejemplo, los polinomios son un espacio vectorial pero también un anillo, no un campo
