¿Se puede resolver esta pregunta con la desigualdad AM-GM-HM?

Question

Estaba resolviendo una pregunta sobre ecuaciones bicuadráticas y casi alcancé la respuesta pero me quedé atascado en un paso en particular que debía ser resuelto, creo, por la desigualdad AM-GM. Las restricciones dadas son las siguientes:

$2a+b=2$

$0\leqslant a,b\leqslant1$

Tenía que encontrar el valor mínimo de $\,(a^2+b^2)$

Intenté encontrar el valor usando la desigualdad AM-GM dividiendo $a$ y $b$ en términos de $\frac a2$ o $\frac b2$ etc, pero no pude obtener el valor deseado de la función dada.

He adjuntado la pregunta completa.

Answer 1

Dado que preguntaste específicamente por AM-GM e incluso mencionaste dividir $a$ en $\frac{a}{2}$, ¡estás muy cerca! La respuesta es Sí, puede ser.

Pista: $ 2a + b = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} +b $

$$ \frac{2}{5} = \frac{2a+b}{5} = \frac{ \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} +b }{5} \leq \sqrt{ \frac{ \frac{a^2}{4} +\frac{a^2}{4} +\frac{a^2}{4} +\frac{a^2}{4} + b^2 } { 5} } = \sqrt{ \frac{ a^2 + b^2 } { 5}}.$$

Por lo tanto, concluye que $a^2 + b^2 \geq \frac{4}{5}$.
La igualdad ocurre cuando $ \frac{a}{2} = b$ y $2 = 2a+b$.

Answer 2

Otro método:

Divida por $x^2$ para obtener $$ x^2 + \frac{1}{x^2} + a(x + \frac{1}{x}) - b = 0 $$

Sustituya $(x + \frac{1}{x}) = t$. Entonces

$f(t) = t^2 + at - (b + 2)$

su discriminante siempre es positivo. Ahora $(x + \frac{1}{x}) \geq 2$ o $(x + \frac{1}{x}) \leq -2$ para todo x.

Entonces esta ecuación debería tener al menos una raíz mayor que 2 o menor que -2.

Por lo tanto, o bien $f(2) < 0$ o $f(-2) < 0$.

Ahora f(-2) nunca puede ser menor que $0$ porque a y b están entre 0 y 1.

Al resolver $f(2) > 0$ obtendrá $2a + b \geq 2$ (no igual a 2)

Por lo tanto, tiene $2a + b \geq 2$ y $0 < a < 1$ y $0 < b < 1$ si toma a y b en el eje x e y respectivamente. Obtendrá el siguiente gráfico.

Ahora $a^2 + b^2$ representa el cuadrado de la distancia de cualquier punto en la región requerida desde el origen. Por lo tanto, será mínimo cuando dibuje una perpendicular desde el origen en $2x + y = 2$ que es $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Eleve al cuadrado para obtener $\frac{4}{5}$ También se puede encontrar el área de la región

Answer 3

Por C-S $$2a+b\leq\sqrt{(4+1)(a^2+b^2)},$$ lo que resulta en $$a^2+b^2\geq\frac{4}{5}.$$ La igualdad ocurre para $(a,b)=\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right).$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S) es la siguiente.

Sea $a_i$ y $b_i$ números reales. Demuestra que: $$(a_1^2+a_2^2+...+a_n)^2(b_1^2+b_2^2+...+b_n)^2\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2.$$

En nuestro caso $(a_1,a_2)=(a,b)$ y $(b_1,b_2)=(2,1)$.