¿Las variedades abelianas isomorfas a todas sus conjugadas descienden?

Question

Supongamos que $A$ es una variedad abeliana sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ de dimensión $g$, tal que $A$ es isomorfo a todos sus conjugados de Galois. Tenga en cuenta que no estoy incluyendo ningún dato de polarización.

¿Puedo concluir que $A$ desciende a $\mathbb{Q}$, o al menos a un campo $K$ de grado acotado sobre $\mathbb{Q}$?

¡Gracias!

Answer 1

1.Teorema (Shimura 1971, "Sobre el Campo de Racionalidad de una Variedad Abeliana"): Si $g$ = dim $A$ es impar y $Aut(A)=\{\pm1\}$ entonces $A$ tiene un modelo sobre su campo de módulos. Prueba: $\{1\} = H^1(\overline{\mathbb{Q}}^*) \rightarrow H^2(\pm1) \rightarrow H^2(\overline{\mathbb{Q}}^*)$ y $\{\pm1\}$ actúa fielmente en $H^0(A_{\overline{\mathbb{Q}}}, \Omega^g) = \overline{\mathbb{Q}}$ dado que $g$ es impar, entonces la imagen de la obstrucción en $H^2(Aut(H^0(A_{\overline{\mathbb{Q}}}, \Omega^g))) = H^2(\overline{\mathbb{Q}}^*)$ puede ser identificada como la obstrucción al descenso de un espacio vectorial unidimensional de $\overline{\mathbb{Q}}$ a $\mathbb{Q}$, por lo tanto es trivial.

2.De interés:

Maus 1973, "Sobre el Campo de Módulos de una Variedad Abiliana con Multiplicación Compleja"

Shimura 1982, "Modelos de una Variedad Abiliana con Multiplicación Compleja sobre Campos Pequeños"

Shioda 1977, "Algunas Observaciones sobre Variadades Abelianas"