¡Feliz año nuevo MSE! Durante mis vacaciones tuve una idea interesante! El teorema de Cayley-Hamilton establece que si $f:\mathbb C^n\to\mathbb C^n$ es una función lineal, entonces es una raíz de su propio polinomio característico $\chi_f(f) = 0$.
Así que me pregunté: ¿qué pasaría si tuviéramos una función $f:\mathbb C^n \to \mathbb C^n$ que satisface una ecuación funcional polinómica (EFP), es decir, existe un polinomio $p=\sum a_k x^k$ tal que $p(f)=0$, donde interpretamos
$$ f^k = \underbrace{f\circ\ldots\circ f}_{k \text{ -veces}}$$
y $f^0 = \text{id}$. (reemplazar el producto de variables con la composición de funciones) Por ejemplo, si $p=x^2+ax+b$ entonces $p(f)=0$ si y solo si $f(f(x)) + af(x) +bx=0$ para todo $x$. Esto está motivado por el hecho de que, después de todo, la multiplicación de matrices no es más que la composición de funciones lineales.
Pregunta: ¿Bajo qué condiciones podríamos concluir que $f$ debe ser una función lineal?
Aquí hay algunas cosas importantes a tener en cuenta
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Si $f$ resuelve la EFP $p(f)=0$, entonces también lo hace $\phi^{-1} \circ f\circ \phi$ para cualquier función biyectiva $\phi$.
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La forma en que escribimos $p$ importa, por ejemplo, aunque $x(x-1) = x^2 -x$, la EFP resultante $f(f(x)-x) = 0$ y $f(f(x)) - f(x)= 0$ son diferentes. (Esto plantea una interesante pregunta secundaria sobre bajo qué condiciones sus soluciones deben coincidir)
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Las soluciones generales a ecuaciones funcionales pueden ser complicadas si no se hacen suposiciones adicionales de regularidad (cf. ecuación funcional de Cauchy).
Con estas advertencias en mente, cuestionaría la validez de lo siguiente
Conjetura: Sea $f\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^n$ una función entera que satisface una EFP $p(f) = 0$. Entonces $f$ es lineal conjugada, es decir, existe una biyección holomorfa $\phi\in\text{Aut}(\mathbb C^n)$ tal que $\phi^{-1}\circ f\circ\phi$ es lineal.
Investigué un poco en la literatura y encontré este maravilloso artículo de Ahern y Rudin. Consideran funciones holomorfas $f$ que son raíces funcionales de la unidad $f^m =\text{id}$ (también conocida como ecuación de Babbage), que es equivalente a la EFP dada por $p=x^m-1$. Entre otras cosas, prueban:
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Si $f^m = \text{id}$ y $f$ es afín, es decir, $f(z)= Lz+c$, entonces $f$ es lineal conjugada.
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Si $f^m = \text{id}$ y $f$ tiene un punto fijo, entonces $f$ es lineal conjugada localmente alrededor de él.
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Si $f^m = \text{id}$ y $f$ es $\mathbb C^2\to\mathbb C^2$ y una composición finita de overshears, entonces $f$ es lineal conjugada.
Aquí un overshear es un mapa de la forma
$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}g(y)x+h(y)\\ y\end{pmatrix}$$
con $g,h$ enteras y $g(y)\neq 0$ para todo $y$; o más generalmente $f(x_i) = x_i$ para $i\neq j$ y $f(x_j) = g(x) x_j + h(x)$ donde $g,h$ son enteras, independientes de $x_j$ y $g(x)\neq 0$ para todo $x$. Se sabe que el conjunto de todas las composiciones finitas de overshears forma un subgrupo denso de $\text{Aut}(\mathbb C^n)$.
También hay algunos resultados negativos conocidos de automorfismos holomorfos no linealizables (por ejemplo, Derksen 1997), pero no entiendo lo suficiente del álgebra avanzada para realmente comprender este documento y sus posibles implicaciones en la pregunta en cuestión.
Hay algunos subproblemas más simples que podrían ser más fáciles de seguir:
Problema 1: Sea $f(z)=Lz+c$ afín y satisfaga una EFP $p(f)=0$. ¿Admite $f$ un punto fijo?
En este caso $f$ es lineal conjugada eligiendo $\phi$ como la traslación al punto fijo. Si es falso, este podría ser el camino más fácil hacia un contraejemplo. Si es verdadero, el siguiente paso lógico debería ser intentar
Problema 2: Si $f:\mathbb C^n \to \mathbb C^n$ es entera y resuelve la EFP $p(f)=0$, entonces $f$ admite un punto fijo.
Finalmente, una observación interesante que hice es la siguiente: si $f$ resuelve la EFP $p(f)=0$, y existe un vector no nulo $v$ y una función entera $g$ tal que $f(\lambda v) = g(\lambda) v$ para todo $\lambda \in \mathbb C$, entonces $f^k(\lambda v) = g^k(\lambda) v$, por lo tanto $g$ es una función escalar solución a la EFP $p(g)=0$. Tal vez esto indique que algún tipo de teoría de los valores propios es posible?
De todos modos, parece que algunas de estas cosas todavía son terreno inexplorado, así que podría valer la pena una investigación adicional. ¡Gracias por leer!
