Construir una matriz $Q$ ortogonal utilizando matrices de Givens de manera que para todos los vectores unitarios $x$ y $y$ tengamos $Q^Tx=y$

Question

Encuentra un método para usar matrices dadas para crear una matriz ortogonal $Q \in R^{n \times n}$, tal que para vectores unitarios $x,y \in R^{n}$, $$Q^Tx=y$$

La idea que tengo es: tomar una sucesión de matrices de Givens $G_n...G_1y=x$, los $G_n...G_1$ deben ser $Q$, ya que $Q$ es una matriz ortogonal, simplemente tomamos la transpuesta para obtener $Q^Tx=y$. Pero el problema son las matrices de Givens.

Answer 1

Es mejor usar transformaciones de Householder: La idea es $$ Q^T x = x - 2 (x^Tv)v. $$ con algún $v$ con $\|v\|=1$. Por la condición $$ y = Q^Tx = x-2 (x^Tv)v $$ se sigue que $v$ es un múltiplo de $x-y$. Establezca $v:= \frac1{\|x-y\|}(x-y)$. Queda por mostrar que la matriz definida por $$ Q^Tx = x-2 (x^Tv)v $$ realmente cumple su función: $$ \begin{split} Q^Tx-y &= x-y - \frac2{\|x-y\|^2} x^T(x-y)\cdot (x-y)\\ & = (x-y) \|x-y\|^2\left( \|x-y\|^2 - 2x^T(x-y)\right)\\ & = (x-y) \|x-y\|^2\left( -(x+y)^T(x-y)\|x-y\|^2 \right)\\ & = (x-y) \|x-y\|^2\left(\|y\|^2 - \|x\|^2 \right) = 0. \end{split}$$