¿Qué significa diferenciar una cantidad diferencial con respecto a otra cantidad de la que no depende?

Question

Recientemente, me encontré con esta ecuación mientras resolvía algunas integrales:

d(xy) = xdy + ydx

Cuando busqué la prueba, me di cuenta de que asumimos otra cantidad diferencial, digamos dp, y luego diferenciamos d(xy), con respecto a p, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena. Sin embargo, no entendí el concepto de diferenciarlo con respecto a una cantidad en la que es independiente. ¿Qué significa esto en términos físicos?

Answer 1

La demostración más simple de la regla del producto se realiza con el aumento del área elemental, que fue descubierto por Leibniz:

$$ d(uv) = A_{\text{tot}} - A_{\text{prev}} \tag 1$$

Donde $A_{\text{tot}}$ es el área aumentada actual y $A_{\text{prev}}$ es el área anterior sin la parte elemental añadida. La ecuación (1) se resuelve así:

$$ d(uv) = (u+du)(v+dv) - uv \tag 2$$

Expandiendo la multiplicación en (2) obtenemos:

$$ d(uv) = vdu + udv + du \cdot dv \tag 3 $$

Dado que el término $du \cdot dv \ll du~(\text{o}~dv)$ puede ser omitido de la ecuación (3). Por lo tanto, obtenemos:

$$ d(uv) = vdu + udv \tag 4 .$$

Sin embargo, no entendí el concepto de diferenciarlo con respecto a una cantidad en la cual es independiente

$$ \frac {\partial f(x)}{\partial y} = 0 $$

porque con respecto a $y,~~f(x)$ es constante y la derivada de constantes siempre es cero.

Answer 2

1. Arregla un punto $p$ en ${\mathbb R}^n$, o cualquier otra variedad sobre la que estés estudiando funciones.

2. Sea $V$ el espacio vectorial de todas las funciones suaves que están definidas en algún vecindario de $p$ (es decir, $f$ está en $V$ si $f$ está definida en algún conjunto abierto que contiene $p$).

3. Sea $U\subset V$ el subespacio de todas las funciones que se anulan en $p$.

4. Sea $T\subset U$ el subespacio de todas las funciones que se anulan en algún vecindario de $p$.

5. Sea $S\subset U$ el subespacio generado por todos los productos $fg$ donde $f,g\in U$.

6. Forma el cociente $U/(S+T)$ y llama a esto el espacio de diferenciales (o vectores cotangentes) en $p$.

7. Para $f\in V$, nota que $f-f(0)$ está en $U$, y por lo tanto tiene una imagen en $U/(S+T)$. Llama a esa imagen $df$.

8. Ahora que sabes lo que significa $df$, verifica que se cumple la regla de Leibniz. Este es un buen ejercicio para asegurarte de que has entendido la definición.

La idea de introducir una tercera función en la que $f$ y $g$ dependen ambas, creo que es muy confusa e innecesaria.

Answer 3

Sin embargo, no entendí el concepto de diferenciarlo con respecto a una cantidad en la que es independiente. ¿Qué significa en términos físicos?

Defina $$p(x,y) = x y$$ Ahora $p(x,y)$, o más simplemente $p$, depende tanto de $x$ como de $y$ por lo que la diferenciación puede tener lugar como de costumbre.