Para un grupo $G$, si $G$ es simple, entonces $G$ tiene una serie de composición trivial. Pero para $|G| = n$, supongamos que hay una serie de composición para todos los grupos de orden menor y que $G$ no es simple. Entonces hay un subgrupo $N < G$ y como $|N| < |G|$, $N$ tiene una serie de composición. Sea $1 = N_0 < \ldots < N_m = N$, su serie de composición. Entonces $1 = N_0 < \ldots < N_m < N_{m+1} = G$ sería la serie de composición de $G$. ¿Hay algún problema con esta demostración?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Para responder a tu pregunta específica sobre la validez de tu prueba: Es el enfoque correcto, pero creo que te falta algo. Una serie de composición no es simplemente una "serie" de subgrupos normales. También necesitas que cada subgrupo normal sea maximal en el sentido de que cada cociente sucesivo sea simple. Por lo tanto, a partir de tu prueba, no queda claro porque simplemente has formado una "serie" de subgrupos normales.
Puedes encontrar la prueba simplemente buscando en Google, la pregunta te dará varios sitios web que tienen la respuesta correcta.
Creo que esto:
Every normal subgroup of a finite group is contained in some composition series
podría ser útil.