¿Puede una función tener de manera no trivial esta propiedad uniforme de integral cero?

Question

Estoy buscando una función $f:[0\;\pmb,\;1]\to\Bbb R\setminus\{0\}$ tal que $$\int_a^bf(x)\;\mathrm dx=0\quad\text{para todo }a,b\in[0\;\pmb,\;1].$$

Claramente, una función así no puede ser Riemann-integrable. ¿Pero existe una bajo un tipo de integración más general (por ejemplo, Lebesgue)? Cuanto más lo miro, más lo dudo. Pero no puedo probar que no existe tal función.

Answer 1

Como copper.hat señaló en un comentario, si $f$ es integrable en el sentido de Lebesgue y satisface tu condición, entonces $f(x)=0$ casi en todas partes.

Ahora, si además $f$ es continua, entonces $f(x)=0$ en todas partes.

Por otro lado, si $f$ no es continua, esto no necesariamente debe ser cierto. Por ejemplo, $f(1/2)=1$ y $f(x)=0$ en otros lugares es integrable en el sentido de Lebesgue y satisface tu condición.