$f$ es continua en $c$ $\implies$ $f$ tiene un límite en $c$. ¿Cierto?

Question

En relación con Otra pregunta simple/conceptual sobre límites en la que cuestionaba la afirmación de David Brannan en su A First Course in Mathematical Analysis de que $f(x)=\sqrt x,x\geq 0$ no tiene límite en $0$ (Ejemplo 2c si escribes en la página 184 en el cuadro en http://www.scribd.com/doc/74564079/Mathematical-Analysis), ¡acabo de darme cuenta de que en una sección anterior afirmó que la misma función es continua en su dominio, es decir, incluso en $0$ (Ejemplo 3 si escribes en la página 148 en el cuadro)!

¿Esto no viola el teorema bien conocido (Thm 2 si escribes en la página 185 en el cuadro) que implica que si $f$ es continua en $c$, entonces $f$ tiene un límite en $c$? ¿Está contradiciéndose David Brannan (al establecer mal su definición de límites)?

EDITAR: Gracias, Wisefool. Resulta que no hay contradicción en las afirmaciones de Brannan (que la función raíz cuadrada es continua en 0 pero no tiene límite en 0) después de todo, solo debido a su peculiar definición de "límite" y su igualmente peculiar declaración del teorema que relaciona la continuidad en un punto con el límite en ese punto.

Answer 1

Es simplemente una cuestión de terminología: en ese ejemplo (o en esa sección/capítulo/libro) se entiende que un límite es un límite bilateral. $f$ tiene límite $l$ en $x_0$ si:

1. $f$ está definida en un vecindario (no puntual) de $x_0$
2. para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|f(x)-l|<\epsilon$.

En ese ejemplo, es la primera condición la que falla.

Esto no es exactamente estándar y personalmente habría dicho que la función tenía un límite para $x\to 0$, pero entiendo el punto del libro...

EDITAR: además, el Teorema 2 en la página 185 habla de un punto $c$ contenido en un intervalo abierto $I$ donde la función está definida. No hay ningún intervalo abierto de la recta real que contenga a $0$ donde la función $\sqrt{x}$ esté definida.