¿Cuáles de los axiomas de campo ordenado fallan para los números irracionales?

Question

Creo que los siguientes fallan:

1. Existe un número irracional denotado por $0$ tal que $a+0=a$ para todos los números irracionales $a$, porque no existe tal número irracional.
2. Para todos los números irracionales $a$, existe un único número irracional $a\cdot b$ porque tomemos por ejemplo un número $\sqrt2$ y otro número irracional $\frac{1}{\sqrt2}$. Si los multiplico obtengo $1$, excepto que $1$ no es un número irracional.
3. Existe un número irracional denotado por $1$ tal que $a\cdot 1=a$ para todos los números irracionales a porque no hay tal número irracional.
4. Hay un subconjunto $P$ de $I$, denominado los números irracionales positivos, tal que para todos los números irracionales $a$, exactamente una de las siguientes afirmaciones es cierta: $a$ está en $P$, $a=0$, o $-a$ está en $P$. Esto falla porque $a$ no puede ser $0$ ya que $0$ no es un número irracional.

En primer lugar, ¿estoy en lo correcto acerca de que estas propiedades fallan, y en segundo lugar, ¿me faltan otros axiomas que también fallen?

Answer 1

Considere

$$ (1 + \pi) - \pi = 1 \in \mathbb{Q}$$