Verificar mi prueba (Demostrar que para todos los conjuntos A, B, C, $(A \cup B)-C = (A-C) \cup (B-C)$)

Question

Demuestra que para todos los conjuntos A, B, C, $(A \cup B)-C = (A-C) \cup (B-C)$

supón $x \in A,B,C$

si $x\in A$ o $B$ o ambos , entonces por definición de unión, $x\in A\cup B$.

Dado que $x\in (A \cup B) $ y $x\in C$, por definición de sustracción, $x\notin (A \cup B)-C$

Dado que $x \in A$ y $x \in C$, por definición de sustracción, $x \notin (A-C)$, lo mismo ocurre si $x \in B$, entonces $x \notin (B-C)$.

Ahora si $x \notin (A-C)$ y $x \notin (B-C)$ entonces $x \notin (A-C) \cup (B-C)$ y $x \notin (A \cup B) -C$

por lo tanto $(A \cup B)-C = (A-C)\cup (B-C)

¿verifica mi demostración?

-gracias

Answer 1

Es un poco confuso porque empiezas asumiendo "$x\in A,B,C$", pero ¿qué significa eso? ¿Estamos asumiendo $x\in A\cap B\cap C$? Si es así, deberías decirlo.

Tampoco está claro cómo nos beneficia asumir que $x$ está en esa intersección. Hay precisamente dos cosas que tenemos que demostrar: (1) Que cada $x$ que es un elemento del lado izquierdo también es un elemento del lado derecho, y (2) Que cada $x$ que es un elemento del lado derecho también es un elemento del lado izquierdo. Esa es nuestra forma de mostrar igualdad de conjuntos.

Por lo tanto, nuestro primer paso debería ser asumir que $x$ está en un lado o en el otro, y luego demostrar que también está en el otro lado.

Te mostraré una dirección:

Supongamos $x\in (A\cup B)-C$. Entonces $x\in A\cup B$ pero $x\not\in C$. Tenemos dos casos (a) supongamos $x\in A$. Entonces tenemos $x\in A-C$. (b) supongamos $x\not\in A$, entonces $x\in B$. Así, $x\in B-C$. En cualquier caso, tenemos $x\in(A-C)\cup(B-C)$.

Concluimos: $(A\cup B)-C \subseteq (A-C)\cup(B-C)$

¿Ves cómo empecé con $x$ siendo un elemento del LHS, y terminé mostrando que ese mismo $x$ también debe ser un elemento del RHS? Intenta escribir la otra dirección, donde comienzas con algo en $(A-C)\cup(B-C)$, y muestra que también debe estar en $(A\cup B)-C$.

Answer 2

Pensé que podría ser útil comentar un poco más sobre la demostración. ¡No creo que hayas demostrado en absoluto lo que querías demostrar!

Escribiré el conjunto del lado izquierdo como $L = (A\cup B) - C$ y el conjunto del lado derecho como $R = (A - C)\cup (B - C)$.

Mostraste que si $x\in A, B, C$, entonces $x\not\in L, R$. Eso es algo, pero no es suficiente para concluir que $L = R. ¿Qué pasa si tenemos $x\in R$ pero $x\not\in L? Tu demostración realmente no elimina esa posibilidad.

El enfoque más seguro para hacer estas demostraciones es ceñirse a las definiciones. La forma en que defino la igualdad entre conjuntos es diciendo que dos conjuntos son iguales siempre que $x\in L$ si y solo si $x\in R$.

Esto significa que hay dos partes: (1) Quiero suponer que $x\in L$ y luego mostrar que esto implica $x\in R, y luego (2) Quiero suponer que $x\in R$ y mostrar que esto implica $x\in L. Una vez que hagas eso, tendrás que $x\in L$ si y solo si $x\in R$, y así $L = R$ por definición.

Answer 3

Después de repensar mi prueba, llegué a:

supongamos que $x \in (A \cup B) -C$

si $x \in (A \cup B) - C$ entonces $x \notin C$, entonces $x \in A$ y/o $x \in B

Dado que $x \notin C$ y $x \in (A \cup B) - C$, entonces $x \in (A-C)$ y/o $x \in (B-C)

por lo tanto, si $x \in (A-C)$ y/o $x \in (B-C)$, entonces $x \in (A-C) \cup (B-C)$

por la definición de unión, el mismo resultado ocurre si x está en solo uno de los dos conjunto A y B.

Así, $(A \cup B) - C = (A-C) \cup (B-C)$