Sistema de ecuaciones no lineales tediosas 4: $ (a+k)(b+k)(c+k)(d+k) = constante de $ para $1 \le k \le 4$

Question

Se da ese $$(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=15$$$(a+2)(b+2)(c+2)(d+2)=45$$$(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)=133$$$(a+4)(b+4)(c+4) (d + 4) = 339$ $ cómo encontrar el valor de $($a+5)(b+5)(c+5)(d+5). Pude pensar solamente de apertura de cada expresión y luego manipular, y también pensé en soluciones del número entero (no existe). ¿Cómo solucionarlo entonces?

Answer 1

Nota que \begin{align} f(k) & =(a+k)(b+k)(c+k)(d+k) \\ & = k ^ 4 + (a + b + c + d) k ^ 3 + (un b + c + a b c + d + b d + c d) k ^ 2 + (b c + un b d + un d c c d b) k + un cd de b \\ & = k ^ 4 + k ^ 3 e_1 + k ^ 2 e_2 + k e_3 e_4. \end{align}

Ahora tienes un sistema lineal de 4 ecuaciones y 4 incógnitas ($e_1, e_2, e_3, e_4$). Resolverlo y encontrar $f(5)$.

Answer 2

En primer lugar, mediante la ampliación de las cuatro ecuaciones, se nota que el sistema de ecuaciones es equivalente a $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 4 & 8 & 2 & 4 & 4 & 8 & 4 & 8 & 8 \\ 1 & 3 & 3 & 9 & 3 & 9 & 9 & 27 & 3 & 9 & 9 & 27 & 9 & 27 & 27 \\ 1 & 4 & 4 & 16 & 4 & 16 & 16 & 64 & 4 & 16 & 16 & 64 & 16 & 64 & 64 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} abcd \\ abc \\ abd \\ ab \\ acd \\ ac \\ ea \\ un \\ bcd \\ bc \\ bd \\ b \\ cd \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 29 \\ 52 \\ 83 \end{bmatrix}. $$ Mediante una reducción de la fila, vemos que esto es equivalente a la ecuación de matriz $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} abcd \\ abc \\ abd \\ ab \\ acd \\ ac \\ ea \\ un \\ bcd \\ bc \\ bd \\ b \\ cd \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}. $$ Esto se resuelve en el siguiente sistema de ecuaciones: $$ \begin{aligned} abcd = 7 \\ abc + abd + acd + bcd = 3 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = 4 \\ a + b + c + d = 0. \end{aligned} $$

Por último, tomamos nota de que $(a+5)(b+5)(c+5)(d+5)$ es igual a $$abcd + 5(abc + abd + acd + bcd) + 25(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + 125(a + b + c + d) + 625.$$ Por lo que $(a+5)(b+5)(c+5)(d+5) = 7 + (5\times3) + (25\times4) + (125\times0) + (625) = 747$.

Answer 3

Según arce, no existen soluciones reales. Hay soluciones complejas. Tienen $a$ como una raíz de la irreducible cuártica $x ^ 4 + 4 x ^ 2-3 x + 7$.

Pero en cuanto al valor de $($a+5)(b+5)(c+5)(d+5): tenga en cuenta que $($ a+x)(b+x)(c+x)(d+x) es un quartic monic polinomio en $x$. Encontrar una cuártica monic con valores de $15, \; 45, \; 133, \; 339$ en $ $1,2,3,4. Esta parte incluye ecuaciones lineales, o puede utilizar una tabla de diferencias...

Answer 4

Sugerencia: El uso de las diferencias finitas, como se sugirió anteriormente por @user314 y Robert Israel. Se comportan similar a los derivados.

Con $\Delta [p](x) \colon = p(x+1) - p(x)$, tenemos para $p(x) = a_n x^n + \cdots $ un polinomio de grado $n$,
$$\Delta^n [p(x)] \equiv n ! \cdot a_n$$ Por lo tanto, para nuestro monic polinomio $p(x)= (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$ de grado $4$ tenemos

$$\Delta^4 [p] (x)= p(x+4) - \binom{4}{1}p(x+3) + \binom{4}{2} p(x+2) - \binom{4}{1} p(x+1) + p(x) \equiv 4! = 24$$ y así, por $x=1$ obtenemos

$$p(5) = 4\, p(4) - 6\, p(3) + 4 \,p(2) - p(1) + 24 = \,...$$

Answer 5

He encontrado la solución numéricamente utilizando una variante del método de Newton. Es, \begin{align} a &= 0.6625 + 1.1432 i \\ b &= -0.6625 + 1.8897 i \\ c &= 0.6625 - 1.1432 i \\ d &= -0.6625 - 1.8897 yo, \end{align} que puede ser verificada por pluging en las ecuaciones originales.

El producto deseado es, $$(a+5)(b+5)(c+5)(d+5) = 747.00$$ y, de hecho, los ceros después del punto decimal continuar a máquina de la precisión.

Tal vez los resultados numéricos que serán de utilidad en la búsqueda de un exacto (no numéricos) de la solución a través de más medios analíticos.

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La integridad, la secuencia de comandos de Matlab que utiliza para obtener la respuesta a esto es que se incluye a continuación. Vale la pena señalar que el valor inicial debe ser complejo en orden a conseguir la convergencia.

%Solves system of nonlinear equations found here:
%http://math.stackexchange.com/questions/1140178/system-of-4-tedious-nonlinear-equations-akbkckdk-constant-for
%using Newton's method

g = [15; 45; 133; 339];
f_fct = @(v) [prod(v+1); prod(v+2); prod(v+3); prod(v+4)] - g; %want f(v)=0

%Jacobian matrix:
J_fct = @(v) ...
    [prod(v([2,3,4])+1), prod(v([1,3,4])+1), prod(v([1,2,4])+1), prod(v([1,2,3])+1); ...
    prod(v([2,3,4])+2), prod(v([1,3,4])+2), prod(v([1,2,4])+2), prod(v([1,2,3])+2); ...
    prod(v([2,3,4])+3), prod(v([1,3,4])+3), prod(v([1,2,4])+3), prod(v([1,2,3])+3); ...
    prod(v([2,3,4])+4), prod(v([1,3,4])+4), prod(v([1,2,4])+4), prod(v([1,2,3])+4)];

v0 = 1i*[1;2;3;4]; %initial guess must be complex for convergence
v = v0;
aa = 0;
c1 = 1e-4;
for k=1:100
    f = f_fct(v);
    disp(['k= ',num2str(k),', aa= ',num2str(aa,3),', ||f||= ', num2str(norm(f),3)]);
    if (norm(f) < 1e-9)
        break;
    end
    J = J_fct(v);
    p = -J\f; %Newton search direction

    %Find step size 'aa' satisfying first Armijo linesearch condition
    aa = 1;
    if (k < 1)
        aa = 0.01;
    else
        for jj=0:5
            aa = 2^(-jj);
            armijo_lhs = norm(f_fct(v + aa*p));
            armijo_rhs = norm(f_fct(v)) + c1*aa*p'*J_fct(v)'*f_fct(v);
            if (armijo_lhs < armijo_rhs)
                break;
            end
        end
    end
    v = v + aa*p;
end
a = v(1)
b = v(2)
c = v(3)
d = v(4)
answer = prod(v+5)