¿Cómo combinar las probabilidades individuales de seleccionar algo basado en sus atributos?

Question

Digamos que una caja tiene un 50% de probabilidad de ser seleccionada basada en su color y un 70% de probabilidad de ser seleccionada basada en su tamaño. ¿Cuál es la probabilidad general de que la caja sea seleccionada?

La probabilidad no es mi punto fuerte, pero hasta donde sé, como es una pregunta simple de y, simplemente multiplicas las probabilidades, pero luego obtienes 0.5 * 0.7 que es 0.35. Pero luego parece estar mal porque según mi intuición el resultado debería ser más de 0.5. Así que o mi intuición está equivocada o no sé cómo combinar las probabilidades.

Answer 1

Es imposible responder sin más información. Supongamos que alguien es totalmente daltónico... en ese caso, el color de la caja no tiene impacto en el proceso de toma de decisiones de seleccionar la caja o no. No está claro cómo nuestra persona seleccionada al azar utiliza la información del color y el tamaño en su proceso de toma de decisiones.

Ahora... es posible que alguien utilice exactamente una de las propiedades, tamaño o color, para influir en su proceso de toma de decisiones y qué propiedad se utiliza se selecciona al azar con $p$ para la probabilidad de usar el tamaño para influir en la decisión y $(1-p)$ para usar el color.

Entonces tendríamos una probabilidad de elegir la caja correcta como $p\times 0.7 + (1-p)\times 0.5$

Por supuesto, no hay razón para asumir que alguien utiliza solo una característica a la vez para tomar una decisión. Es posible que el conocimiento tanto del tamaño como del color permita automáticamente a la persona tomar la decisión correcta cada vez, por ejemplo, sabemos que si es una caja grande y dorada, está garantizado que tenga un premio, pero si solo nos fijamos en "caja dorada" solo podríamos agarrar cajas pequeñas y doradas que están vacías o si solo nos fijamos en "caja grande" podríamos haber agarrado cajas grandes de un color verde desagradable que están vacías.

Answer 2

En este tipo de pregunta, la respuesta depende de cómo imaginas que se realiza la selección.

Si tienes, digamos, $100$ cajas, mitad rojas y mitad azules, y para cada tamaño de caja $35$ grandes y $15$ pequeñas, entonces si eliges una caja al azar será roja con una probabilidad de $50/100 = 1/2$ y grande con una probabilidad de $70/100 = 35/50 = 7/10$. Será roja y grande con una probabilidad de $0.7 \times 0.5 = 0.35$. Eso tiene sentido: hay $35$ de esas cajas en las $100$. La interpretación del producto de "y" aplica porque el tamaño y el color son independientes.

Pero si todas las $50$ cajas rojas son grandes junto con $20$ azules, entonces una caja al azar será roja y grande con una probabilidad de $1/2$.

Existen otras interpretaciones, sugeridas en la respuesta de @JMoravitz. Supongamos que hay solo una caja roja grande, que estás tratando de seleccionar, mientras que todas las demás son pequeñas y azules, pero tu percepción del color es correcta solo la mitad del tiempo mientras que tu percepción del tamaño es correcta el $70\%$ del tiempo. Entonces deberías elegir basándote en el tamaño, ganando con una probabilidad de $0.7$.

Por lo tanto, la probabilidad de una caja grande y roja depende del contexto.

¿Puedes imaginar un experimento que conduzca a una probabilidad mayor que $0.7$?