Supongamos que $X$ es un espacio de Banach y $X_j$ son subconjuntos con $X_1 \subseteq X_2 \subseteq X_3 \subseteq \ldots$ de modo que $X= \overline{\bigcup _{j=1}^{\infty} X_j }$. Si $u \in X$ entonces $u= \lim_{n \rightarrow \infty} y_n$ con $y_n \in \bigcup _{j=1}^{\infty} X_j$. Quiero reemplazar la secuencia $y_n$ con una secuencia $u_n$ tal que $u_n \in X_n$. Estoy bastante seguro de que esto es posible, pero no estoy seguro de cuál sería la forma más elegante de hacerlo. Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuestas
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Floris Claassens
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Supongo que deseas que para cualquier $u_{n}$ exista un $y_{m}$ tal que $u_{n}=y_{m}$. En ese caso, esto no será posible para un número finito de $u_{n}$, ya que para una secuencia general $(y_{n})$ puede existir un $N\in\mathbb{N}$ tal que $y_{n}\in X\setminus X_{N}$ para todo $n$.
Podemos hacer una secuencia que cumpla con tus requisitos. Para $n\leq N$ definimos $u_{n}=y_{n}$. Para $n>N$ definimos $Y_{n}=\{i\geq n:y_{i}\in X_{n}\}$, nota que $Y_{n}$ tiene cardinalidad infinita. Podemos definir $$u_{n}=y_{\min Y_{N}}.$$
pje
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Sea $k(m) = \min \{ k \in \mathbb N \mid y_m \in X_k \}$ y $l(n) = \sum_{m=1}^n k(m)$. La secuencia de enteros $l(n)$ es estrictamente creciente de tal manera que $y_n \in X_{k(n)} \subset X_{l(n)}$.
Escoge cualquier $\xi \in X_1$. Luego toma $x_r = \xi$ para $r = 1,\dots,l(2)-1$ (lo cual implica que $x_r \in X_1 \subset X_r$) y para cada $n \ge 2$ toma $x_r = y_n$ para $r = l(n),\dots ,l(n+1)-1$ (lo cual implica que $x_r \in X_{l(n)} \subset X_r$).
Obviamente $x_n \to u$.
