Dado un grupo $G$, la existencia de un espacio tal que $\pi_1(X)\simeq G$.

Question

Tengo problemas para entender el Corolario 1.28 de Hatcher que demuestra que para cada grupo $G$ existe un espacio $X_G$ tal que $\pi_1(X_G)=G.

Dado que $G$ es el cociente de un grupo libre $F$, tenemos un mapa $\varphi\colon F\to G$ con núcleo $K. Sea $g_\alpha$ los generadores de $F, y $r_\beta$ los generadores de $K. Se obtiene $G=\langle g_\alpha\mid r_\beta\rangle$ es una presentación del grupo. Hasta aquí entiendo.

Luego la construcción continúa adjuntando $2$-celdas $e_\beta^2$ al wedge $\bigvee_\alpha S^1_\alpha$ mediante las palabras especificadas por $r_\beta. No entiendo por qué adjuntar las $2$-celdas de esta manera hace que las cosas funcionen.

Hay una proposición en la página anterior que dice que la inclusión $X\to Y$ induce una suryección $\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,x_0)$ con núcleo el espacio generado por todos los bucles $\gamma_\alpha\varphi_\alpha\gamma_\alpha^{-1}$ para $\alpha$ variable, donde $\gamma_\alpha$ es una trayectoria de $x_0$ a $\varphi_\alpha(s_0)$ para cada mapa de adjunción $\varphi_\alpha$ de $e_\alpha^2.

Así que asumo que en este caso específico la inclusión $\bigvee_\alpha S^1_\alpha\to X_G$ conduce a un isomorfismo $\pi_1(X_G)\simeq\pi_1(\bigvee S^1_\alpha)/N. Sé que $\pi_1(\bigvee S^1_\alpha)\simeq F$, pero no entiendo por qué el $N$ generado por los bucles debería ser el mismo que $K$ generado por las palabras para obtener el isomorfismo deseado.

Answer 1

El subgrupo $K < F$ es el núcleo de $\phi$. Siendo un núcleo, es un subgrupo normal. Sus generadores (como subgrupo) son los $r_\beta$.

En la definición de $X_G$, los $\phi_\beta$ se toman como lazos tales que $[\phi_\beta] = r_\beta \in \pi_1(X, x_0)$. Por lo tanto, como tú dices, $N$ está generado (como subgrupo) por todos los $[\gamma] r_\beta [\gamma]^{-1}$. Este grupo $N$ claramente contiene a $K$ (porque para $\gamma$ un lazo constante obtienes que $r_\beta \in N$, $\forall \beta$). Por otro lado, $K$ es normal, así que cada $[\gamma] r_\beta [\gamma]^{-1}$ en realidad también está en $K$, y por lo tanto $N \subset K$. Por lo tanto, $N = K.