La equivalencia es falsa vs La equivalencia es incorrecta

Question

Recientemente me encontré con la siguiente pregunta :

¿Qué se puede decir sobre el valor de verdad de $Q$ cuando: $P$ es verdadero y $P\Leftrightarrow Q$ es falso?

La respuesta a esta pregunta es "claramente" que Q es falso.

Pero durante algún tiempo, utilizando solo mi intuición sin usar la tabla de valores de verdad verdadero/falso, estaba convencido de que no podemos decidir si $Q$ es verdadero o falso. Estaba articulando en mi mente que $P\Leftrightarrow Q$ es incorrecto. Por lo tanto, la relación entre P y Q puede ser cualquier cosa menos equivalencia. Entonces, incluso sabiendo que P es verdadero, no podemos decidir nada acerca de Q.

Quiero identificar esta falacia lógica/intuición matemática. ¿Este tipo de "limitaciones" impuestas por el vocabulario de la lógica formal que estudiamos temprano en nuestros cursos de matemáticas, y que no siempre reflejan el lenguaje humano, forman parte del estudio en la lógica matemática avanzada?

Actualización :

La mayoría de las respuestas fueron en dirección a dar las definiciones para el operador de equivalencia Proposiciones y declaraciones abiertas. Soy consciente del error con respecto a estas definiciones. Es mi culpa por no mencionar mi formación. Estaba preparando una sesión de instrucción dada a algunos estudiantes de primer año de licenciatura. Teniendo experiencia en análisis, nunca presto demasiada atención a este tipo de falacias de intuición/lógica descuidadas. Mi pregunta puede formularse aproximadamente así: "¿la estudio de estas falacias de intuición/lógica descuidadas forman parte de las matemáticas?"

Answer 1

Creo que tu confusión se remonta al Paradox de la Implicación Material. O más bien, en este caso, la paradoja de la equivalencia material.

En resumen: nuestras intuiciones respecto a una declaración en inglés 'si y solo si' (que, después de todo, es como se nos dice que leamos el $\leftrightarrow$) no coinciden con el operador de verdad funcional matemáticamente definido $\leftrightarrow$. Siguiendo tu ejemplo, si me dicen que es falso que la nieve sea blanca si y solo si las bananas son amarillas (una declaración que la mayoría de la gente consideraría falsa), y también me dicen que la nieve es blanca, entonces no voy a inferir que las bananas no son amarillas. Así que sí, hay una discrepancia.

Pero, dado que la pregunta involucra al operador matemáticamente definido, debes responder en consecuencia y, en un caso como este, ignorar tus intuiciones.

Answer 2

La afirmación $P\Leftrightarrow Q$ no dice que los significados de $P$ y $Q$ necesiten tener algo en particular que ver entre sí. Asevera que $P$ y $Q$ tienen el mismo valor de verdad -- nada más, nada menos.

Si $P$ es verdadero, y no es el caso que $P$ y $Q$ tengan el mismo valor de verdad, entonces deben tener valores de verdad diferentes, y el único valor diferente de "verdadero" (y por lo tanto posible para $Q$) es "falso".

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Una fuente de confusión es si $P$ y $Q$ contienen variables. Por ejemplo, podríamos tomar $P$ como $x=2$ y $Q$ como $x\ne 5$. Entonces la afirmación $$ x = 2 \iff x \ne 5 $$ ciertamente no es una verdad general sobre los números. Sin embargo, ahora los valores de verdad de todo dependen de lo que sea $x. Si resulta que $x$ es $5$ entonces $x=2$ y $x\ne 5$ ciertamente tienen el mismo valor de verdad (a saber, falso), y en ese caso la fórmula $x=2 \Leftrightarrow x\ne 5$ es verdadera.

En una matemática "descuidada" ordinaria, a menudo diremos algo como

a) $x=2 \Leftrightarrow x\ne 5$ es falso.

Pero lo que realmente queremos decir con eso es

b) $x=4 \Leftrightarrow x \ne 5$ no siempre es verdad.

o, con más símbolos

c) $\forall x ( x=4 \Leftrightarrow x\ne 5)$ es falso.

En el último caso, el cuantificador $\forall x$ produce una afirmación que no depende de seleccionar un valor específico para $x$ de antemano, y por lo tanto ahora es completamente correcto declarar que la afirmación es falsa, punto.

Uno de los puntos de ejercicios como el que citas es ayudarte a ser consciente de las partes no dichas de las expresiones "descuidadas" como la (a) anteriormente mencionada.

Answer 3

La equivalencia $P \iff Q$ es falsa. Lo que significa que $P$ y $Q$ tienen valores de verdad opuestos. Y, dado que $P$ es verdadero, $Q$ es falso.

Afirmar que una declaración es falsa no significa que haya algo mal con ella, sea lo que sea eso signifique. Te están llevando por mal camino con una falsa equivalencia entre verdadero y correcto (y por lo tanto entre falso y incorrecto).

Answer 4

Que la equivalencia sea falsa significa que se puede dar que $P$ es verdadero y $Q$ falso, o que $P$ es falso y $Q$ es verdadero. Dado que también admitimos que $P$ es verdadero, concluimos que $Q$ es falso.

El lenguaje formal puede ser entendido y manejado por una máquina. El ser humano, cada vez más, pero introduciendo elementos estadísticos. Pero creo y espero que nunca llegue a controlar todas las variables psicológicas y culturales.