¿Por qué vacío operaciones dan la identidad?

Question

¿Por qué es que vacía las operaciones de dar la identidad de esa operación?

Wikipedia dice que el vacío del producto es de 1 "por convención", pero esta convención es coherente con las ideas que se parecen como un vacío de producto (como $x^{0}$).

Si voy a hablar de la intersección de ninguna conjuntos (teniendo en $U$ a ser el "conjunto universal"), a continuación, la lógica de las demandas de la intersección vacía ser $U$ (debido a que cualquier elemento es vacuously en cada conjunto en un vacío de la familia, y es, por tanto, en el vacío de la intersección). $U$ , de hecho, funciona como la identidad de las intersecciones; para cualquier $A \subseteq U$, $A \cap U = A$.

La misma historia de la unión de conjuntos. La lógica exige que la unión de ninguna conjuntos de ser el conjunto vacío, y de hecho esta es la identidad de la operación union.

No parece haber mucho más que la convención pasando aquí, y es consistente entre las operaciones binarias de todos los tipos. Así que ¿por qué es que la operación no operandos tiende a resultar en la identidad de esa operación?

Answer 1

La razón de este fenómeno es que queremos que nuestra operación asociativa. Queremos que la suma de dos cantidades a ser una gran suma, por ejemplo, y queremos que esto se sostenga, independientemente de cuántos términos hay en cada suma.

$$\prod_{i\in \emptyset} f(i)\times \prod_{i\in A}f(i) = \prod_{i\in (\emptyset\cup A)} f(i)=\prod_{i\in A}f(i)$$

$$\sum_{i\in \emptyset} f(i)+ \sum_{i\in A}f(i) = \sum_{i\in (\emptyset\cup A)} f(i)=\sum_{i\in A}f(i)$$

$$\bigcup_{i\in \emptyset} f(i)\cup \bigcup_{i\in A}f(i) = \bigcup_{i\in (\emptyset\cup A)} f(i)=\bigcup_{i\in A}f(i) $$

$$\bigcap_{i\in \emptyset} f(i)\cap \bigcap_{i\in A}f(i) = \bigcap_{i\in (\emptyset\cup A)} f(i)=\bigcap_{i\in A}f(i)$$

En todos los casos, el deseo de tener a los anteriores mantienen únicamente determina lo que el vacío, la operación debe ser.

Nota: como filipos señala, queremos $\prod_{i\in A}f(i)\times \prod_{i\in B}f(i)=\prod_{i\in (A\cup B)} f(i)$ para cualquier conjuntos disjuntos $A,B$.

Answer 2

Perdón por adelantado a todos los chiflados de notación que he hecho en el fin de responder a esta pregunta.

Todo lo que usted menciona es una instancia de una familia de operadores de $\bigodot_{\alpha} : X^{\alpha} \to X$ en algunas de conjunto (o de clase) $X$ y un conjunto (o clase) de los números ordinales $\alpha$, tal que:

• $\bigodot_{i<1} x_i = x_1$ todos los $x_1 \in X$, es decir, el $1$-ary $\odot$ es la función identidad; y
• Para todos $\alpha \ge 1$, $\bigodot_{i<\alpha+1} x_i = \left( \bigodot_{i < \alpha} x_i \right) \odot x_{\alpha+1}$ para todos los $( x_i : i < \alpha ) \in X^{\alpha}$.

Aquí he escrito $\bigodot_{i<\alpha} x_i$ como abreviación $\bigodot_{\alpha} ( x_i : i < \alpha )$, e $x \odot y$ como abreviación $\bigodot_2 ( x,y )$.

En orden para el segundo de propiedad anterior a todas las $\alpha$, no sólo a todos los $\alpha \ge 1$, usted necesita tener, para todos los $x \in X$, $$\left(\bigodot_0 ( ) \right) \odot x = \bigodot_1 \{ x \} = x$$ y de la misma manera $x \odot \left( \bigodot_0 () \right) = x$.

Por lo tanto, si existe, $\bigodot_0()$ (es decir, el " vacío $\odot$') debe ser la identidad de $\odot$.

---

Esto puede ser justificado en un nivel más general. Los operadores que mencionas son todos los casos de productos y co-productos en categorías particulares. El vacío del producto es el terminal de objetos de la categoría (si es que existe), y el vacío subproducto es la inicial del objeto (si es que existe). En efecto:

• La multiplicación de los números. Los números naturales (pensamiento de von Neumann ordinales) forman una categoría $\mathsf{FinOrd}$, cuyos morfismos son las funciones. En esta categoría, el producto coincide con la multiplicación de números naturales tal y como la conocemos, y $1$ es el terminal de objeto, de ahí el vacío del producto. El subproducto coincide con la adición de números naturales, y $0$ es el objeto inicial, por lo tanto el vacío de la suma.
• Intersección de conjuntos. La clase de todos los conjuntos de formularios de una categoría, donde un único morfismos $X \to Y$ existe si y sólo si $X \subseteq Y$. En esta categoría, co-productos son los sindicatos y el conjunto vacío es el objeto inicial, de ahí el vacío de la unión. Los productos son las intersecciones, pero no hay ningún terminal de objeto (ya que implicaría la existencia de un conjunto universal), por lo que no hay intersección vacía. Sin embargo, en la subcategoría que consta de subconjuntos de algunas conjunto fijo $U$, la terminal de objeto es$U$, por lo tanto, $U$ es el vacío de la intersección en esta subcategoría.

Answer 3

Es un muy útil convención, al menos, en algunos casos, sin embargo, lo que realmente es el valor correcto dadas las definiciones involucradas.

Como nota, la intersección de una colección vacía de conjuntos es no vacío; más bien, es todo. Esto puede ser visto por la expansión de la definición. Supongamos $\mathcal{A}$ está vacía. Entonces $$\begin{align} x \in \bigcap \mathcal{A} &\iff \forall A\,(A\in\mathcal{A} \to x\in A) \\ &\iff \forall A\,(A\in\emptyset \to x\in A) \\ &\iff \forall A\,(\mathsf{False} \to x\in A) \\ &\iff \forall A\,(\mathsf{True}) \\ &\iff \mathsf{True} \end{align}$$ Para cada $x$ es, en teoría, un miembro de la intersección. Esto no es un juego, a menos implícitamente a todos los $A\in \mathcal{A}$ son subconjuntos de un conjunto $X$, como es típico. *Cuando ese es el caso, la intersección es vacía $X$, porque entonces implícitamente $x$ es restringida a ser en $X$.

Una situación similar se plantea más en general, para completar celosías - conjuntos parcialmente ordenados $(X,\preceq)$ de manera tal que todos los $Y\subseteq X$ $\sup$ (límite superior) y un $\inf$ (mayor límite inferior) con respecto a la referencia $\preceq$. Trabajar a través de las definiciones y verás que en un completo entramado, $$\begin{align} \sup \emptyset &= \mathbf{0} \quad\text{the 'bottom', least element, and} \\ \inf \emptyset &= \mathbf{1} \quad\text{the 'top', greatest element.} \end{align}$$ De hecho, debido a que la definición de un completo entramado implica que $\sup$ $\inf$ existen para $\emptyset$, las definiciones de $\sup$ $\inf$ implica que por cada elemento $x$ de la celosía, $\sup\emptyset \preceq x \preceq \inf \emptyset$, y se establece que un completo entramado de la realidad tiene menos y el mayor de los elementos de ($\mathbf{0}, \mathbf{1}$ respectivamente).

Esto es consistente con lo que ocurre con $\bigcup$$\bigcap$: estas son las $\sup$ $\inf$ operaciones en powersets $\mathcal{P}(X)$, que se completa celosías con respecto a la orden parcial $\subseteq$.