Derivando la ecuación de flujo de área variable a partir de la forma diferencial de la ecuación de continuidad.

Question

A continuación se muestra la forma diferencial de la ecuación de continuidad para un flujo estacionario e incompresible

$$ u/x+ v/y + w/z = 0$$

Ahora, ¿podemos obtener la ecuación de flujo de área variable A1V1=A2V2 resolviendo esta ecuación? Por lo general, utilizamos la forma integral de la ecuación

Answer 1

Ten en cuenta que la densidad es constante en este caso, es decir:

$$\partial_t \rho = 0.$$

Usando la ecuación de continuidad tenemos:

$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$. $u$ es el vector de velocidad de flujo. Esto nos da $\nabla \cdot (\rho u) =0$. $\rho$ es constante y por lo tanto obtenemos $\nabla \cdot u = 0$. El teorema de la divergencia nos da entonces:

$$ \int_V (\nabla \cdot u )dV = \int_{\partial V} u \cdot \vec{da} =0.$$

También daré el paso final. Tenemos que $$ \int_{\partial V} u da_u = u_1 A_1 - u_2 A_2 = 0 $$ entonces $$u_1 A_1 = u_2 A_2.$$

Notación: $da_u$ es el elemento de área proyectada en la dirección de $u$ (Donde quiero decir $da_u = cos(\theta) da$.) y utilicé el hecho de que en dos superficies diferentes tenemos diferentes $u$. El signo - ocurre porque el vector normal apunta en la otra dirección para una de las superficies. Para una superficie fija perpendicular a algún $u$ tenemos un $u$ constante por lo que $u_1, u_2$ pueden ser sacados de la integral en ambos casos.

Espero que te ayude