Radio circunscrito de la intersección de dos simplejos regulares

Question

Para $n \geq 2$, sea $\Delta^n$ un símplice regular de $n$ dimensiones en $\mathbb{R}^n$ centrado en el origen $0$ e inscrito en la esfera unitaria $\mathbb{S}^{n-1}$. Sean $v_0,\dots,v_n \in \mathbb{S}^{n-1}$ los vértices de $\Delta^n$. Sea $-\Delta^n$ la simétrica de $\Delta^n$ con respecto al origen cuyos vértices son $-v_0,\dots,-v_n$ y $\Pi^n = \Delta^n \cap -\Delta^n$. ¿Cuál es el circunradio $R_n$ de $\Pi^n$ ? ¿Este politopo tiene algún nombre ?

Ya he calculado $\Pi^2$ (que es un hexágono regular cuyo circunradio es $R_2 = \frac{1}{\sqrt{3}})$ y $\Pi^3$ (que es un octaedro regular cuyo circunradio es $R_3 = \frac{1}{\sqrt{3}})$ pero no sé cómo hacerlo para dimensiones más altas.

Estoy interesado si alguien tiene referencias sobre este tema, revisé 'Regular Polytopes' de Coxeter pero no encontré respuestas allí.

Answer 1

Los núcleos de intersección de los compuestos regulares de bi-simplex son bien conocidos, seguramente.

El núcleo de intersección n-dimensional de $x3o..o3o3o3o..o3o$ (n nodos, el simplex) y $o3o..o3o3o3o..o3x$ (n nodos, el dual simplex) es $o3o..o3x3x3o..o3o$ (n nodos, el simplex medio truncado), para ser reducido por un factor $n+1$, siempre que n sea par.

El núcleo de intersección n-dimensional de $x3o..o3o3o..o3o$ (n nodos, el simplex) y $o3o..o3o3o..o3x$ (n nodos, el dual simplex) es $o3o..o3u3o..o3o$ (n nodos, el simplex medio rectificado), para ser reducido por un factor $n+1$, siempre que n sea impar.

(A lo largo de $x$ denota aristas unitarias y $u$ aristas de doble longitud.)

Así que en 2D realmente obtienes el hexágono, en 3D el octaedro, en 4D el decacron, en 5D el dodecateron, etc.

Ahora, sobre tu búsqueda acerca de los radios. El radio circunscrito de un simplex con aristas unitarias n-dimensionales se conoce que es $\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$. El de un simplex n-dimensional medio truncado con aristas unitarias ($n$ par) se conoce que es $\sqrt{\frac n 2}$, y el de un simplex n-dimensional medio rectificado con aristas unitarias ($n$ impar) se conoce que es $\sqrt{\frac{n+1}8}$.

Juntando todo esto, el radio n-dimensional de esos núcleos de intersección - para simplex unitarios circunscritos - resulta ser $\frac 1{\sqrt{n+1}}$ para $n$ par y $\frac 1{\sqrt n}$ para $n$ impar. - Así que realmente $\frac 1{\sqrt 3}$ tanto para $n=2,\ 3$, como ya calculaste.

--- rk