Derivada para valor propio con respecto al primer / segundo / tercer invariante de una matriz

Question

Definición

Hay una matriz 3 por 3 $A$ donde $Ax=\lambda x$, entonces $\lambda$ donde $\lambda$ y $x$ son valores y vectores propios de la matriz $A$.

Y luego tenemos los invariantes de la matriz,

$I_1 = tr(A) = A_{11} + A_{22} + A_{33} = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$

$I_2 = \frac{1}{2}\{[tr(A)]^2-tr(AA)\}=A_{11}A_{22} + A_{22}A_{33} + A_{11}A_{33} - A_{12}A_{21} - A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31} = \lambda_1\lambda_2 + \lambda_2\lambda_3 + \lambda_1\lambda_3 $

$I_3 = det(A) = \lambda_1\lambda_2\lambda_3$

Pregunta

1. ¿Existe una expresión en forma cerrada para $\frac{\partial \lambda_i}{\partial I_1}$, $\frac{\partial \lambda_i}{\partial I_2}$, y $\frac{\partial \lambda_i}{\partial I_3}$?

2. ¿Hacia dónde evolucionará esta pregunta si A es una matriz simétrica?

P. S.: la aplicación de este problema es en mecánica de sólidos, me gustaría saber la derivada de la elongación principal con respecto al primer/segundo invariante del tensor de Cauchy-Green derecho.

Answer 1

Si $\boldsymbol{A}$ es un tensor simétrico de segundo orden, sus eigenvalores $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ son todos reales. Los eigenvalores están relacionados con los invariantes $I_1$, $I_2$, $I_3$ de $\boldsymbol{A}$ a través del polinomio característico $$ -\lambda^3 + I_1 \lambda^2 - I_2 \lambda + I_3 = 0 \, , $$ de los cuales son las raíces (reales). Las raíces de este polinomio se pueden obtener utilizando el método de Cardano. Con el cambio de variable $\lambda = X + \frac{1}{3}I_1$, la ecuación anterior se reescribe como $$ X^3 + p X + q = 0 $$ $$ \text{con}\quad p=I_2 - \frac{{I_1}^2}{3}, \quad q= \frac{I_1 I_2}{3} - \frac{2 {I_1}^3}{27} - I_3. $$ Todos los eigenvalores son reales si el discriminante $\Delta = - (4 p^3 + 27 q^2)$ es positivo. Utilizando el hecho de que $\Delta$ es un polinomio de grado dos de $I_3$, se obtienen las condiciones ${I_1}^2 - 3 I_2 > 0$ y $$ {-1} < \frac{27 I_3 - 9 I_1 I_2 + 2 {I_1}^3}{2 ({I_1}^2 - 3 I_2)^{3/2}} <1 \, , $$ para asegurar que todos los eigenvalores $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ son reales. Su expresión en términos de los invariantes $I_1$, $I_2$, $I_3$ se puede deducir de la descomposición polar de las fórmulas de Cardano: $$ \lambda_k = \frac{I_1}{3} + 2\sqrt{\frac{-p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\right) + \frac{2k\pi}{3}\right) , $$ para $k\in\lbrace 1,2,3\rbrace$. Queda por calcular las derivadas $\partial\lambda_k/\partial I_\ell$.

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Alternativamente, se puede haber calculado la inversa de la matriz jacobiana $$ \frac{\partial \boldsymbol{I}}{\partial \boldsymbol{\lambda}} = \left(\frac{\partial I_i}{\partial \lambda_j}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \lambda_2+\lambda_3 & \lambda_1+\lambda_3 & \lambda_1+\lambda_2\\ \lambda_2\lambda_3 & \lambda_1\lambda_3 & \lambda_1\lambda_2 \end{pmatrix} $$ cuyas entradas son las derivadas parciales solicitadas expresadas en términos de los $\lambda_k$. Su expresión anterior permite concluir.

Answer 2

No existe. Es como decir $\partial x / \partial (x\cdot y)$. Nota que por ejemplo $\partial (x\cdot y) / \partial x = y$ pero $\partial x / \partial (x\cdot y)$ no está definido.