¿Qué tan grande debería ser la muestra?

Question

Una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 100 y desviación estándar 10.

(a) ¿Cuál es P(90< X <110)?

(b) Si X promedio es el promedio de una muestra de 16 elementos extraídos de esta población, calcula P(90 < X promedio < 110).

(c) Representa en un gráfico las distribuciones de X y X promedio.

(d) ¿Qué tan grande debe ser la muestra para que P(90 < X promedio < 110) = 0.95?

Amigos, ¿podrían ayudarme en b) y c)? No necesito las respuestas, quiero entenderlo.

Answer 1

Para el ejemplo tienes una variable aleatoria aleatoria $$X \sim N(100,10^2).$$ En el número (b) tienes que calcular el promedio de 16 v. a. $X_i,\ i = 1, \dots , 16$. Llamo a este promedio $Z$. Con $\alpha + \beta X \sim N(\alpha + \beta \mu, \beta^2\sigma^2)$ para una v. a. normal distribuida con expectativa $\mu$ y varianza $\sigma^2$ y $X_i \overset{i.i.d}{\sim}X$ obtienes: $$Z = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} X_i \sim N\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} \mu, \left(\frac{4\sigma}{16}\right)^2 \right) = N\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} \mu, \left(\frac{\sigma}{4}\right)^2 \right)$$ Con los números dados tienes $$Z \sim N\left(100, \left(\frac{10}{4}\right)^2 \right)$$ Ahora puedes calcular la probabilidad $$P(Z \in [90,110]) = P(Z \geq 90) - P(Z \geq 110)$$ o de manera más común y fácil para hacer cálculos $$P(Z \in [90,110]) = P(Z \leq 110) - P(Z \leq 90)$$ por estandarización o con un software estadístico.

Como la media de ambos es igual, solo tienes que comparar la desviación estándar, que es mucho más baja que la de la Variable X. Puedes ver esto en la imagen (azul = Average X, verde = X)

Espero que ahora no haya olvidado algo. :)