Mostrar que un grupo ortogonal es una $ \frac{n(n−1)}2 $-dim. $ C^{\infty} $-Variedad y encontrar su espacio tangente

Question

El grupo ortogonal se define como (con la estructura de grupo heredada de las matrices $n\times n$)

$$O(n) := \{X\in \mathbb{R}^{n\times n} : X^\text{t}X=I_n\}.$$

(i) Mostrar que $O(n)$ es una variedad $C^\infty$ de dimensión $\frac{n(n-1)}{2}$ en el espacio de las matrices $n\times n$.

Pistas. Exhibir $O(n)$ como la preimagen de $0$ de la función $\phi$ de matrices $n\times n$ a matrices simétricas $n\times n$ dada por $X\mapsto X^\text{t}X I_n$. (Nota que el espacio objetivo de $\phi$ es muy importante para cumplir con la condición de rango máximo.)

Luego mostrar que la ecuación $\phi'(A)H=S$ tiene una solución $H$ para cada $A\in O(n)$ y cada matriz simétrica $n\times n$ $S$. También necesitarás calcular la dimensión del espacio de matrices simétricas $n\times n$.

(ii) Mostrar que el espacio tangente $T_{I_n}O(n)$ en la identidad es el espacio de matrices antisimétricas.

Answer 1

Ya te han dado el mapa suave $\phi(X) = X^{t}X - I_n,$ y $O(n) = \phi^{-1} (0),$ por lo que automáticamente es una variedad (si el rango es constante). Para ver la dimensión, necesitas calcular la nulidad de $\phi^{\prime}.$ Mira abajo para una solución completa.

El punto aquí es que $\phi$ lleva matrices $n\times n$ a matrices simétricas ya que $(X^{t}X- I)^t = X^{t}(X^{t})^{t} - I = X^t X - I.$ Toma la derivada direccional $\phi_v (X) = \lim_{h\to 0} \frac{(X+hv)^t(X+hv) - I - X^t X + I}{h} = X^t v + v^t X = (X^t v) + (X^t v)^t.$ Es decir, $\phi^{\prime}(X)$ lleva $v$ a $(X^t v)+(X^t v)^t.$ Entonces notamos que esto es simétrico, y $\phi^{\prime}$ llega al espacio de matrices simétricas ya que $X$ es invertible. El espacio de matrices simétricas tiene dimensión $n(n+1)/2$ (puedes calcular esto tú mismo), de donde la dimensión de $O(n)$ es $n^2 - n(n+1)/2 = n(n-1)/2.$

Para calcular el espacio tangente en $I$, simplemente debes mirar a $\phi^{\prime} (I)$ y calcular su espacio nulo.

Answer 2

Para demostrar que el mapa $p\colon X\mapsto X^{t} \cdot X$ de $M_n(\mathbb{R})$ a $\mathcal{Sym}_n(\mathbb{R})$ es una sumersión en $X= I$, es suficiente producir una sección alrededor de $p(I) = I$, es decir, un mapa $s\colon U\to M_n(\mathbb{R})$ suave, $s(I) = I$, y $p\circ s = Id$ en $U$, un vecindario de $I$ en $\mathcal{Sym}_n(\mathbb{R})$. Tome $s$ como la raíz cuadrada, es decir

$$s(I + \delta) = \sqrt{I+ \delta} = \sum_{k\ge 0} \binom{1/2}{k} \delta^k$$

Ahora, para producir una sección alrededor de cualquier $X \in O(n, \mathbb{R}), use el hecho de que $O(n)$ es un subgrupo.