¿Se puede considerar el campo de los números complejos como un espacio vectorial?

Question

Esto es de Huffman & Kunze.

"El campo C de los números complejos puede ser considerado como un espacio vectorial sobre el campo de los números reales. Más generalmente, sea F el campo de los números reales y sea V el conjunto de n-tuplas $\ =(x_1,..,x_n)$ donde $\ x_1,..,x_n$ son números complejos. Definimos la adición de vectores y la multiplicación escalar por:

a) sea $\ =(x_1,...,x_n)$ y $\ =(y_1,...,y_n)$ entonces $\ +=(x_1+y_n,...,x_1+y_n)$

b) sea $\ =(x_1,...,x_n)$ entonces $\ c=(cx_1,...,cx_n)"

De esta manera obtenemos un espacio vectorial sobre el campo que es bastante diferente de $\ ^n$ y $\ ^n$"

1) ¿Cómo puede considerarse el campo de los números complejos como un espacio vectorial? Lo pregunto porque no creo que el campo de los números complejos pueda tener n-tuplas con n>1, ¿verdad? Ya que creo que para que un objeto se interprete como un vector, debe tener al menos un par ordenado de números.

2) Cuando se dijo que el espacio vectorial construido es bastante diferente, ¿no debería ser "completamente diferente" porque el espacio vectorial tiene n-tuplas con n>1?

Estoy realmente confundido.

Answer 1

No necesariamente el caso de que un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$ consista en tuplas. Es una noción completamente abstracta: solo necesitamos alguna adición con $0$ y $-$ (un grupo Abeliano en álgebra abstracta) y una multiplicación escalar que es simplemente una función $K \times V \to V (k, v) \to k\cdot v$ que satisface algunos axiomas de consistencia como

$(kk')\cdot v = k(k'\cdot )v$, relacionando la multiplicación en el campo $K$ con la multiplicación escalar, así como $1\cdot v = v$, $k\cdot(v+w) = k\cdot v + k\cdot w$ y $(k+k')\cdot v = k\cdot v + k'\cdot v$.

Pero si $K \subset V$ y $V$ también es un campo, podemos simplemente usar la multiplicación de campo en $V$ restringida a $K$ en la izquierda para obtener una multiplicación escalar de forma gratuita, y los axiomas de campo garantizan todos los axiomas del espacio vectorial. Así que $V$ es un espacio vectorial sobre $K$.

Esto también se usa a veces para ver $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ (que tiene una dimensión enorme), y en un campo finito $K$ siempre tenemos un subcampo de la forma $F_p$ para $p$ primo, y el argumento del espacio vectorial luego nos da que $|K| = p^n$ para algún $n$ ($n$ es la dimensión de $K$ como espacio vectorial sobre $F_p$...)

Es solo álgebra abstracta, no tuplas/matrices, etc. Más adelante probablemente verás "espacios vectoriales", compuestos de funciones o clases de equivalencia de funciones, y aplicaciones lineales que no son "matrices".

Answer 2

Es porque cumple con los requisitos de un espacio vectorial $V$ sobre $F$. Ellos son:

• $V$ es un grupo abeliano
• $\alpha(\beta u) = (\alpha\beta)u$
• $1 u = u$
• $\alpha (u+v) = \alpha u+\alpha v$
• $(\alpha+\beta)u = \alpha u + \beta u$

Donde $u, v\in V$ y $\alpha, \beta\in F$ y $1$ siendo la unidad multiplicativa de $F$.

$\mathbb C$ cumple con todos estos requisitos (con $\mathbb R$ siendo el campo). Los números complejos contienen una especie de par ordenado, por ejemplo $z=x+iy$ contiene el par ordenado $(x,y)$. El requisito de contener eso no significa que deban hacerlo explícitamente (además, no hay tal requisito: la definición permite que un espacio vectorial sea de una o cero dimensiones, lo que significa que no habría tuplas adecuadas de ninguna manera).

¿Cuál es la distinción entre bastante diferente y completamente diferente? No lo sé, pero por supuesto que son diferentes. El espacio construido tiene dimensión $2n$ mientras que $\mathbb C^n$ y $\mathbb R^n$ solo tienen dimensión $n$. La diferencia con $\mathbb R^{2n}$, por otro lado, no está dentro del alcance de la parte del espacio lineal: considerados solo como espacios lineales, son isomorfos.