Demostrar que $\lim_{n\to\infty}b_n = a$

Question

Sea $\lim_{n\to\infty}a_n = a$. Sea $(b_n)$ una secuencia que satisface $b_{n+k} = a_{n+l}$ para algunos $k,l\in\mathbb N$ y para todo $n\in\mathbb N$. Demuestra que $\lim_{n\to\infty}b_n = a$

...Bueno, primero, quiero entender exactamente la afirmación. ¿Significa que si tenemos una secuencia aritmética, que es igual a otra secuencia aritmética, tienen el mismo límite? - Si noto que ambas secuencias están en $\mathbb N$, ¿estoy en lo correcto?

Bueno, después de entender la afirmación, debo probarlo... algo que nunca he hecho en mi vida y que debo aprender.

Answer 1

La relación entre las secuencias $(b_n)$ y $(a_n)$ es que se ven iguales después de algún índice $N \in \mathbb{N}$. Como ejemplo, consideremos la secuencia definida por $x_n = n$ y dejemos $y_{n+2} = x_{n+3}$. La secuencia $y$ sería $$ y_3 = x_6 = 6, \ y_4 = x_7 = 7$$ y así sucesivamente. El cambio de los índices solo afecta la parte inicial de las secuencias, lo cual no tiene efecto en la convergencia de la secuencia.

Sin embargo, hay algunos matices técnicos al pensar en cómo demostrar este hecho "trivial". Dada la convergencia de la secuencia $(a_n)$, tenemos $$ \forall \varepsilon > 0 : \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N : |a_n - a| < \varepsilon$$ Bueno, si directamente sustituimos la relación entre $a_n$ y $b_n$, entonces tendríamos $$ |a_{n + (l - l)} - a| = |b_{n - l + k} - a|$$ Ahora, si establecemos $b_{n - l + k} = b_m$, podemos notar que la relación de índices anterior se dará como $$n \geq N \iff m + l - k \geq N \iff m \geq N - l + k$$ ¡Así que la prueba se ha escrito por sí sola! Elija $\varepsilon > 0$, elija $M = \max\{ N(\varepsilon) - l + k, 1 \}$ por lo anterior $$ \forall \varepsilon > 0 : \exists M \in \mathbb{N} : m \geq M : |b_m - a| < \varepsilon$$ Por lo tanto, $$ \lim_{m \to \infty} b_m = a \iff \lim_{n \to \infty} b_{n + l - k} = a$$

Answer 2

Si $l \geq k$ entonces $b_{n}=b_{(n-k)+k} = a_{(n-k)+l}=a_{n+l-k}$ así $b_n$ es una subsecuencia de $a_n$ por lo que $b_n\to a$

De manera similar, si $l < k$ entonces para $n>k-l$, tenemos que $b_n$ es una subsecuencia de $a_n$.

Answer 3

Por la definición del límite de una sucesión, tenemos que para cada $\varepsilon>0$ existe $N(\varepsilon)\in\mathbb N$ tal que $$ |a_n-a|<\varepsilon $$ si $n\ge N(\varepsilon)$.

De ahí que $$ |b_{n+k}-a|=|a_{n+l}-a|<\varepsilon $$ tan pronto como $n\ge N(\varepsilon)-l$. Por lo tanto, para cada $\varepsilon>0$ existe $M(\varepsilon)$ tal que $$ |b_n-a|<\varepsilon $$ tan pronto como $n\ge M(\varepsilon)$. Eso es lo que queríamos probar. Tenemos que $\lim_{n\to\infty}b_n=a$.

Answer 4

Según la declaración dada, no se menciona nada sobre la secuencia aritmética (recuerda la definición de una secuencia aritmética).

Sea $a_{n} \to a$ cuando $n \to \infty$; sean $k, l \in \mathbb{N}$; sea $b_{n+k} := a_{n+l}$ para todo $n \geq 1$; entonces $|b_{n+k}-a| = |a_{n+l}-a|$ para todo $n \geq 1$. Si $\varepsilon > 0$, entonces existe un $N \geq 1$ tal que $|a_{n}-a| < \varepsilon$ para todo $n \geq N$, lo que implica que para todo $n \geq \max \{ N, l+1 \}$ tenemos $|a_{n+l} - a| = |b_{n+k} - a| < \varepsilon.