Funciones monótonas y estrictamente crecientes

Question

Esta es una pregunta sobre terminología.

¿Cuál es la diferencia entre una (i) función estrictamente creciente, y una (ii) función monótonamente creciente? ¿Es que una función monótonamente creciente también puede incluir funciones que son constantes en algunos intervalos, mientras que una función estrictamente creciente siempre debe tener una derivada positiva donde esté definida?

Si es así, ¿es correcto decir que

Funciones estrictamente crecientes $\implies$ monótonamente crecientes, mientras que el recíproco no es cierto? ¿Y una función estrictamente creciente es equivalente a una función 'estrictamente monótonamente creciente'?

Gracias.

Answer 1

Casi lo tienes bien. La condición se expresa mejor sin hacer referencia a derivadas. Una función $f(x)$ es estrictamente creciente si para todo $(x,y)$ tal que $y>x$

$$ f(y) > f(x) $$

y es monótona creciente si para todo $(x,y)$ tal que $y>x$, $$ f(y) \geq f(x) $$

Tu definición que involucra derivadas diría que la función diente de sierra $$ g(x) = x - \lfloor x \rfloor $$ es estrictamente monótona (ya que la derivada no está definida en $x$ entero), pero en realidad no es monótona en absoluto.

Tu última oración es completamente correcta.

Answer 2

Una función estrictamente creciente: sea $$P=\{x_1,...,x_n; x_i