¿Sabes si un grupo abeliano alguna vez hace alguna relación "más débil"?

Question

Estoy intentando resolver un problema de tarea en una clase de álgebra y creo que lo resolví, aunque no estoy seguro si mi argumento es válido. El problema es el siguiente:

Calcular el orden $|G|\in\mathbf{N}\cup\{\infty\}$ del grupo $G$ con la presentación $$G=\langle x,y\ |\ x^2y=e, xy^3=e\rangle$$

Mi solución intentada es la siguiente:

La segunda relación nos da $e=xy^3=x^{-1}(x^2y)y^2$. Además, la primera relación nos da $x^{-1}(x^2y)y^2=x^{-1}y^2$, lo que demuestra que $x^{-1}y^2=e$, o equivalentemente que $x=y^2$. Sustituyendo eso en ambas relaciones, obtenemos que la única restricción es que $y^5=e$. Dado que $x$ puede ser generado por $y, podemos descartar $x$ y observar que este es un grupo cíclico de orden $5$.

La parte en la que realmente no estoy seguro es aquella en la que descarto las relaciones originales y las reemplazo por el hecho de que $x=y^2$ combinado con el hecho de que $y^5=e. ¿Hay alguna restricción que me esté perdiendo de esta manera?

Answer 1

Una forma limpia de demostrar la existencia de un isomorfismo entre grupos definidos por presentaciones es definir homomorfismos en ambas direcciones y demostrar que son inversos. Para definir un homomorfismo fuera de un grupo definido por una presentación, simplemente decir dónde lleva los generadores y demostrar que se respetan todas las relaciones. (Más precisamente, primero definir un homomorfismo del grupo libre sobre los generadores, y luego mostrar que lleva los relatores a la identidad, por lo que desciende al grupo cociente).

Sea $H=\left$. Podemos definir $f\colon G\to H$ y $g\colon H\to G$ configurando $f(x) = z^2$, $f(y) = z$, y $g(z) = y$, y comprobando que \begin{align*} f(x^2y) &= f(xy^3) = e,\\ g(z^5) &= e,\\ f\circ g(z) &= z,\\ g\circ f(x) &= x,\\ g\circ f(y) &= y. \end{align*} Así, $f$ y $g$ definen homomorfismos inversos.